Nos exercícios de (9) a (16), aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
sumk=1^infty k!e^-k,

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=1^infty k!e^-k usando o Teste da Razão, que consiste em calcular L = limktoinfty |ak+1/ak|.

Passo 2

Para a sequência de termos ak = k!e^-k, temos:
ak+1ak = (k+1)!,e^-(k+1)k!,e^-k = (k+1),e^-1 = k+1e
Logo,
L = limktoinfty k+1e = +infty

Passo 3

Como no Teste da Razão um limite L>1 implica que a série diverge, concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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