Encontre a massa e o centroide das lâminas descritas abaixo
A lâmina delimitada pelo eixo x, e a curva x=1-x^2 e de densidade de.

Passo 1

Nesse exercício queremos a massa e o centroide de uma lâmina de densidade constante de delimitada pelas curvas y=0 e y=1-x^2. O conteúdo utilizado é cálculo de massa e centroide via integrais duplas, que para densidade constante ficam:
massa:
M=integral duplaR de
centroide:
bar x=1Mintegral duplaR xde
Vamos reduzir essas integrais a integrais iteradas em x e y.

Passo 2

Primeiro calculamos a massa M. Como de é constante, temos M=deÁ. A área do região sob a parábola é dada por
Área(R)=integralx=-1^1(1-x^2),dxÁ
Calculando,
integral-1^1(1-x^2),dx=l[x-tfracx^33r]-1^1=(1-tfrac13)-(-1+tfrac13)=tfrac43
Logo,
M=4timestfrac43=tfrac163

Passo 3

Para encontrar bar x, usamos
bar x=1Mintegral duplaR xde
Como o integrando é função ímpar em x e os limites são simétricos, a integral anula-se. Portanto,
bar x=0

Passo 4

Agora calculamos bar y. A definição é
bar y=1Mintegral duplaR yde
A integral interna é
integral0^1-x^2y,dy=tfrac(1-x^2)^22
Então o momento em y é
4integral-1^1tfrac(1-x^2)^22,dx=2integral-1^1(1-2x^2+x^4),dx
Calculando,
integral-1^1(1-2x^2+x^4),dx=l[x-tfrac2x^33+tfracx^55r]-1^1=tfrac1615
Assim o momento é
2timestfrac1615=tfrac3215,
e
bar y=32/1516/3=3215times316=tfrac25

Resposta

massa M=tfrac163, centroide em (bar x,bar y)=(0,tfrac25).

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