Encontre a massa e o centroide das lâminas descritas abaixo
A lâmina delimitada pelo eixo
, e a curva
e de densidade
.
A lâmina delimitada pelo eixo
Passo 1
Nesse exercício queremos a massa e o centroide de uma lâmina de densidade constante
delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo utilizado é cálculo de massa e centroide via integrais duplas, que para densidade constante ficam:
massa:
centroide:
Vamos reduzir essas integrais a integrais iteradas em
e
.
Passo 2
Primeiro calculamos a massa
. Como
é constante, temos
. A área do região sob a parábola é dada por
Calculando,
Logo,
Passo 3
Para encontrar
, usamos
Como o integrando é função ímpar em
e os limites são simétricos, a integral anula-se. Portanto,
Passo 4
Agora calculamos
. A definição é
A integral interna é
Então o momento em
é
Calculando,
Assim o momento é
e
Resposta
massa
, centroide em
.