Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida: . O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para integrar funções que envolvem expressões quadráticas. Vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica para facilitar a resolução dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos no denominador. Para facilitar a integração, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir . Essa substituição é útil porque transforma a expressão em uma forma que envolve o cosseno, que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Com , precisamos também encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, ficamos com:
Simplificando dentro do denominador:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Agora, simplificamos o denominador:
Substituindo de volta na integral:
Aqui, usamos que .
Passo 6
A integral de é uma das integrais básicas que conhecemos:
Então, nossa expressão fica:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar . No triângulo:
O lado oposto a é .
A hipotenusa é 2.
Então, o lado adjacente é . Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na nossa solução:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.