Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
integral0^1 1(4-x^2)^32 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^1 1(4 - x^2)^32 dx. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para integrar funções que envolvem expressões quadráticas. Vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica para facilitar a resolução dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos 4 - x^2 no denominador. Para facilitar a integração, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir x = 2 sin theta. Essa substituição é útil porque transforma a expressão 4 - x^2 em uma forma que envolve o cosseno, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Com x = 2 sin theta, precisamos também encontrar dx em termos de theta. Derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 2 cos theta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral 1(4 - (2 sin theta)^2)^32 cdot 2 cos theta , dtheta = integral 2 cos theta(4 - 4 sin^2 theta)^32 dtheta
Simplificando dentro do denominador:
4 - 4 sin^2 theta = 4(1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Portanto, a expressão fica:
integral 2 cos theta(4 cos^2 theta)^32 dtheta

Passo 5

Agora, simplificamos o denominador:
(4 cos^2 theta)^32 = 4^32 cos^3 theta = 8 cos^3 theta
Substituindo de volta na integral:
integral 2 cos theta8 cos^3 theta dtheta = integral 28 cos^2 theta dtheta = 14 integral sec^2 theta , dtheta
Aqui, usamos que 1cos^2 theta = sec^2 theta.

Passo 6

A integral de sec^2 theta é uma das integrais básicas que conhecemos:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
Então, nossa expressão fica:
14 tan theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 2 sin theta, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar tan theta. No triângulo:
  • O lado oposto a theta é x = 2 sin theta.
  • A hipotenusa é 2.
Então, o lado adjacente é raiz4 - x^2. Portanto:
tan theta = xraiz4 - x^2

Passo 8

Substituindo tan theta de volta na nossa solução:
14 cdot xraiz4 - x^2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 9

Calculamos a integral definida:
14 cdot xraiz4 - x^2 |0^1 = 14 ( 1raiz4 - 1 - 0raiz4 - 0 ) = 14 ( 1raiz3 - 0 ) = 14 raiz3

Resposta

O valor da integral é 14 raiz3.

Exercícios relacionados