Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo:
q(x)=3 x^2 som(2 x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Transformada de Laplace da função q(x) = 3x^2 cdot som(2x) . A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que usamos para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Para resolver isso, precisamos saber:
  • A definição da Transformada de Laplace.
  • As propriedades e tabelas de transformadas de funções comuns, como polinômios e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: q(x) = 3x^2 cdot som(2x) . Acho que há um pequeno erro de digitação, e provavelmente “som” deveria ser “sen”, que representa a função seno. Então, a função é q(x) = 3x^2 cdot sin(2x) .

Passo 3

A Transformada de Laplace, denotada por Lf(x) , é definida por:
Lf(x) = integral0^infty e^-sx f(x) , dx
No nosso caso, queremos encontrar L3x^2 cdot sin(2x) .

Passo 4

Podemos usar a linearidade da Transformada de Laplace, que nos permite separar constantes e somar transformadas. Então:
L3x^2 cdot sin(2x) = 3 cdot Lx^2 cdot sin(2x)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar Lx^2 cdot sin(2x) . Para isso, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para x^n cdot sin(a x) :
Lx^n cdot sin(a x) = n! cdot 2a s(s^2 + a^2)^n+1
Aqui, n = 2 e a = 2 .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Lx^2 cdot sin(2x) = 2! cdot 2 cdot 2 cdot s(s^2 + 2^2)^2+1 = 8s(s^2 + 4)^3

Passo 7

Agora, voltamos à expressão original:
L3x^2 cdot sin(2x) = 3 cdot 8s(s^2 + 4)^3 = 24s(s^2 + 4)^3

Resposta

A Transformada de Laplace da função q(x) = 3x^2 cdot sin(2x) é:
Lq(x) = 24s(s^2 + 4)^3

Exercícios relacionados