Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que usamos para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Para resolver isso, precisamos saber:
- A definição da Transformada de Laplace.
- As propriedades e tabelas de transformadas de funções comuns, como polinômios e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Acho que há um pequeno erro de digitação, e provavelmente “som” deveria ser “sen”, que representa a função seno. Então, a função é
.
Passo 3
A Transformada de Laplace, denotada por
, é definida por:
No nosso caso, queremos encontrar
.
Passo 4
Podemos usar a linearidade da Transformada de Laplace, que nos permite separar constantes e somar transformadas. Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para
:
Aqui,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão original:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: