Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-15}^{15} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-15}^{15} \operatorname{sen}(x)\,dx.
Dados relevantes: o integrando é \operatorname{sen}(x) e os limites de integração são simétricos em torno de 0 (de -15 a 15). Não foi fornecida nenhuma outra informação; vou trabalhar com essas.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade útil (vou explicar direitinho para você usar na prova). Uma função f é dita ímpar se ela satisfaz
f(-x) = -f(x)\quad\text{para todo }x.
Se f é ímpar e os limites de integração são simétricos, isto é, integramos de -a a a, então as áreas positivas e negativas se cancelam e
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Prova rápida dessa propriedade (passo a passo): escreva
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Faça a substituição u = -x na primeira integral: quando x=-a temos u=a e quando x=0 temos u=0, além de du = -dx. Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u) = -f(u), então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(u)\,du.
Somando com \int_{0}^{a} f(x)\,dx obtemos 0. Essa é a justificativa formal.

Passo 3

Verificamos agora que \operatorname{sen}(x) é uma função ímpar, porque
\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}(x)
para todo x. Portanto podemos aplicar a propriedade do passo anterior com a=15 e concluir imediatamente que
\int_{-15}^{15} \operatorname{sen}(x)\,dx = 0.

Passo 4

Para reforçar e mostrar outra forma (útil na prova se você preferir anti-derivadas), calculemos pelo teorema fundamental do cálculo. Uma primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr)=\operatorname{sen}(x).
Avaliação nos limites dá
\int_{-15}^{15} \operatorname{sen}(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{-15}^{15} = -\cos(15) -\bigl(-\cos(-15)\bigr).
Como \cos é par, \cos(-15)=\cos(15), então
-\cos(15)+\cos(15)=0,
confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

0

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