Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Dados relevantes: o integrando é
e os limites de integração são simétricos em torno de
(de
a
). Não foi fornecida nenhuma outra informação; vou trabalhar com essas.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade útil (vou explicar direitinho para você usar na prova). Uma função
é dita ímpar se ela satisfaz
Se
é ímpar e os limites de integração são simétricos, isto é, integramos de
a
, então as áreas positivas e negativas se cancelam e
Prova rápida dessa propriedade (passo a passo): escreva
Faça a substituição
na primeira integral: quando
temos
e quando
temos
, além de
. Assim
Como
é ímpar,
, então
Somando com
obtemos
. Essa é a justificativa formal.
Passo 3
Verificamos agora que
é uma função ímpar, porque
para todo
. Portanto podemos aplicar a propriedade do passo anterior com
e concluir imediatamente que
Passo 4
Para reforçar e mostrar outra forma (útil na prova se você preferir anti-derivadas), calculemos pelo teorema fundamental do cálculo. Uma primitiva de
é
, pois
Avaliação nos limites dá
Como
é par,
, então
confirmando o resultado do passo anterior.