Calcule as seguintes integrais definidas
\int_{1}^{e+1} \frac{x+2}{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e+1}\frac{x+2}{x-1}\,dx
Este é um caso de integral de função racional que apresenta singularidade no ponto x=1. Vamos tratá-la como integral imprópria, usando divisão polinomial para simplificar o integrando e depois analisar o comportamento no limite x\to1^+.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios, escrevemos
\frac{x+2}{x-1} =\frac{(x-1)+3}{x-1} =1+\frac{3}{x-1}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{1}^{e+1}\frac{x+2}{x-1}\,dx =\int_{1}^{e+1}\!1\,dx +3\int_{1}^{e+1}\frac{1}{x-1}\,dx.
A primeira parte é imediata e a segunda é imprópria em x=1.

Passo 4

Calculando cada termo como limite:
\int_{1}^{e+1}\!1\,dx =\bigl[x\bigr]_{1}^{e+1} =(e+1)-1 =e,
\int_{1}^{e+1}\frac{1}{x-1}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{1+\varepsilon}^{e+1}\frac{1}{x-1}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[\ln|x-1|\Bigr]_{1+\varepsilon}^{e+1} =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(\ln e-\ln\varepsilon\bigr) =1-\lim_{\varepsilon\to0^+}\ln\varepsilon =+\infty.
Portanto
3\int_{1}^{e+1}\frac{1}{x-1}\,dx=3\cdot(+\infty)=+\infty,
e a integral total diverge.

Resposta

A integral é imprópria e diverge para +\infty.

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