Calcule as seguintes integrais indefinidas
\int \frac{\sqrt{3+2 / x}}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sqrt{3+\tfrac{2}{x}}}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é u-substituição para lidar com raízes e potências.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \sqrt{3 + \frac{2}{x}},
de modo que
u^{2} = 3 + \frac{2}{x}.

Passo 3

Derivando u^{2} = 3 + 2/x em relação a x:
2u\,du = -2x^{-2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{-2}\,dx = -u\,du.

Passo 4

Reescrevemos a integral em u:
\int \frac{\sqrt{3+\tfrac{2}{x}}}{x^{2}}\,dx = \int u\,(x^{-2}\,dx) = \int u\,(-u\,du) = -\int u^{2}\,du.

Passo 5

Integrando em u:
-\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C.
Voltando a x, com u = \sqrt{3 + 2/x}, resulta
-\frac{1}{3}\Bigl(\sqrt{3+\tfrac{2}{x}}\Bigr)^{3} + C = -\frac{1}{3}\Bigl(3+\tfrac{2}{x}\Bigr)^{3/2} + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\Bigl(3+\frac{2}{x}\Bigr)^{3/2} + C

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