Calcule as seguintes integrais definidas
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\,x\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}-1.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também mudamos os limites de integração:
quando x=1, u=1^{2}-1=0;
quando x=2, u=2^{2}-1=3.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\,x\,dx =\int_{u=0}^{u=3}u^{3}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{0}^{3}u^{3}\,du.
Agora aplicamos a fórmula de potência:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Portanto,
\frac{1}{2}\int_{0}^{3}u^{3}\,du =\frac{1}{2}\,\biggl[\frac{u^{4}}{4}\biggr]_{0}^{3} =\biggl[\frac{u^{4}}{8}\biggr]_{0}^{3}.

Passo 4

Avaliaremos o resultado nos limites:
\frac{u^{4}}{8}\Bigg|_{0}^{3} =\frac{3^{4}}{8}-\frac{0^{4}}{8} =\frac{81}{8}.

Resposta

\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}x\,dx = \frac{81}{8}.

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