Calcule as seguintes integrais indefinidas
\int \frac{\left(\ln \left(x^{3}\right)\right)^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\bigl(\ln(x^{3})\bigr)^{2}}{x}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, usando também a propriedade de logaritmo.

Passo 2

Usamos \ln(x^{3})=3\ln(x). Assim
\frac{\bigl(\ln(x^{3})\bigr)^{2}}{x} = \frac{9\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}{x}.

Passo 3

Fazemos t = \ln(x), de modo que dt = \tfrac{dx}{x}. Então
\int \frac{9\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}{x}\,dx = 9 \int t^{2}\,dt.

Passo 4

Integramos em t e voltamos a x:
9 \int t^{2}\,dt = 9\cdot\frac{t^{3}}{3} + C = 3\,t^{3} + C = 3\bigl(\ln(x)\bigr)^{3} + C.

Resposta

3\bigl(\ln(x)\bigr)^{3} + C

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