Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}-|x-1|\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-\lvert x-1\rvert\bigr)\,dx.
O conteúdo necessário é o uso de funções definidas por partes para tratar o valor absoluto e, em seguida, a integração de polinômios.

Passo 2

Como \lvert x-1\rvert muda de expressão em x=1, dividimos a integral em duas partes:
para 0\le x<1 tem-se \lvert x-1\rvert=1-x, e para 1\le x\le2 tem-se \lvert x-1\rvert=x-1. Logo,
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-\lvert x-1\rvert\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-(1-x)\bigr)\,dx +\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-(x-1)\bigr)\,dx.

Passo 3

Na primeira integral o integrando é
x^{2}-(1-x)=x^{2}+x-1.
Um antiderivado é
F_{1}(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-x.
Avaliaremos de 0 a 1:
F_{1}(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{6},\quad F_{1}(0)=0,
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\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+x-1\bigr)\,dx =-\frac{1}{6}.

Passo 4

Na segunda integral o integrando é
x^{2}-(x-1)=x^{2}-x+1.
Um antiderivado é
F_{2}(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x.
Avaliaremos de 1 a 2:
F_{2}(2)=\frac{8}{3}-2+2=\frac{8}{3},\quad F_{2}(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1=\frac{5}{6},
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\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)\,dx =\frac{8}{3}-\frac{5}{6}=\frac{11}{6}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
-\frac{1}{6}+\frac{11}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.

Resposta

\frac{5}{3}

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