Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{e} \operatorname{sen}(\ln x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{1}^{e}\sin\bigl(\ln x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal envolve usar a substituição de variáveis para simplificar o logaritmo e depois fazer integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x
\Rightarrow
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad x = e^u \quad\Rightarrow\quad dx = e^u\,du.
Quando x vai de 1 a e, u vai de \ln1=0 a \ln e=1. Assim a integral vira
\int_{1}^{e}\sin(\ln x)\,dx = \int_{0}^{1}e^u\sin u\,du.

Passo 3

Para achar
\displaystyle \int e^u\sin u\,du
usamos integração por partes duas vezes ou o truque de isolar a própria integral. O resultado conhecido é
\int e^u\sin u\,du = \frac{e^u}{2}\bigl(\sin u - \cos u\bigr)+C.

Passo 4

Aplicando de u=0 a u=1:
\left[\frac{e^u}{2}(\sin u - \cos u)\right]_{0}^{1} = \frac{e}{2}\bigl(\sin1-\cos1\bigr) - \frac{1}{2}\bigl(\sin0-\cos0\bigr) = \frac{e}{2}(\sin1-\cos1) - \frac{1}{2}(0-1) = \frac{e}{2}(\sin1-\cos1)+\frac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}\bigl[e(\sin1-\cos1)+1\bigr].

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