Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{3}|2-x|+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{3}\bigl|2 - x\bigr| + x \,dx.
O conteúdo aqui envolve integração de função com valor absoluto. Para resolver, vamos:
  1. Identificar onde muda o sinal de 2 - x.
  2. Reescrever \lvert2-x\rvert sem o valor absoluto em cada trecho.
  3. Integrar em cada trecho e somar os resultados.

Passo 2

O ponto em que 2 - x muda de sinal é a solução de 2 - x = 0, isto é x = 2. Então separamos o intervalo de integração em [-1,2] e [2,3]:
  • Em -1 \le x \le 2, tem-se 2 - x \ge 0, logo \lvert2 - x\rvert = 2 - x.
  • Em 2 \le x \le 3, tem-se 2 - x \le 0, logo \lvert2 - x\rvert = x - 2.

Passo 3

Na primeira parte, para -1\le x\le 2, a integranda fica
\lvert2 - x\rvert + x = (2 - x) + x = 2.
Portanto
\int_{-1}^{2}\bigl|2 - x\bigr| + x \,dx = \int_{-1}^{2} 2 \,dx = 2\bigl[x\bigr]_{-1}^{2} = 2\bigl(2 - (-1)\bigr) = 2\cdot 3 = 6.

Passo 4

Na segunda parte, para 2\le x\le 3, a integranda fica
\lvert2 - x\rvert + x = (x - 2) + x = 2x - 2.
Logo
\int_{2}^{3}\bigl|2 - x\bigr| + x \,dx = \int_{2}^{3} (2x - 2)\,dx = \bigl[x^{2} - 2x\bigr]_{2}^{3} = \bigl((9 - 6) - (4 - 4)\bigr) = 3.

Passo 5

Somando as duas partes, o valor da integral é
6 + 3 = 9.

Resposta

O valor da integral é 9.

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