Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{e} f(x) d x, sabendo que f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} ; x \leq 2 \\\\ 2 x ; x>2\end{array}\right..)

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = \int_{1}^{e} f(x)\,dx
onde a função f é dada por
f(x)=\begin{cases} x^{2},&x\le 2,\\\\ 2x,&x>2. \end{cases}
O conteúdo é integral definida de função por partes. Para resolver, vamos usar a propriedade de aditividade da integral e as primitivas de polinômios.

Passo 2

Como o ponto de quebra da definição de f é x=2 e e\approx2,718>2, dividimos a integral em
\int_{1}^{e}f(x)\,dx =\int_{1}^{2}x^{2}\,dx \;+\;\int_{2}^{e}2x\,dx.

Passo 3

Calculamos a primeira parte usando a primitiva de x^{2}, que é \tfrac{x^{3}}{3}:
\int_{1}^{2}x^{2}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} =\frac{8-1}{3} =\frac{7}{3}.

Passo 4

Calculamos a segunda parte usando a primitiva de 2x, que é x^{2}:
\int_{2}^{e}2x\,dx =\bigl[x^{2}\bigr]_{2}^{e} =e^{2}-2^{2} =e^{2}-4.

Passo 5

Somamos as duas contribuições:
I = \frac{7}{3} + \bigl(e^{2}-4\bigr) =e^{2} + \frac{7}{3} - 4 =e^{2} - \frac{5}{3}.

Resposta

\int_{1}^{e}f(x)\,dx = e^{2} - \frac{5}{3}.

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