Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{1}^{e} f(x) d x, sabendo que f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} ; x \leq 2 \\\\ 2 x ; x>2\end{array}\right..) Passo 1O enunciado pede calcular I = \int_{1}^{e} f(x)\,dx onde a função f é dada por f(x)=\begin{cases} x^{2},&x\le 2,\\\\ 2x,&x>2. \end{cases} O conteúdo é integral definida de função por partes. Para resolver, vamos usar a propriedade de aditividade da integral e as primitivas de polinômios. Passo 2Como o ponto de quebra da definição de f é x=2 e e\approx2,718>2, dividimos a integral em \int_{1}^{e}f(x)\,dx =\int_{1}^{2}x^{2}\,dx \;+\;\int_{2}^{e}2x\,dx. Passo 3Calculamos a primeira parte usando a primitiva de x^{2}, que é \tfrac{x^{3}}{3}: \int_{1}^{2}x^{2}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} =\frac{8-1}{3} =\frac{7}{3}. Passo 4Calculamos a segunda parte usando a primitiva de 2x, que é x^{2}: \int_{2}^{e}2x\,dx =\bigl[x^{2}\bigr]_{2}^{e} =e^{2}-2^{2} =e^{2}-4. Passo 5Somamos as duas contribuições: I = \frac{7}{3} + \bigl(e^{2}-4\bigr) =e^{2} + \frac{7}{3} - 4 =e^{2} - \frac{5}{3}. Resposta \int_{1}^{e}f(x)\,dx = e^{2} - \frac{5}{3}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule as seguintes integrais definidas: \int_{1}^{e} \operatorname{sen}(\ln x) d x Verdadeiro ou falso: \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{4} \operatorname{sen}(x) d x=0. Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{0}^{2}\left(x^{2}-|x-1|\right) d x Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{-1}^{3}|2-x|+x d x