Escreva a fórmula de Taylor, no caso p=2, para a função f(x, y)=x^{2}+2 x y+3 y^{3}+5. Encontre o limite, \lim _{v \rightarrow 0} \frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}}. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) escrever a fórmula de Taylor para p=2 da função \;f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{3}+5\; em torno do ponto origem (isso está implícito porque o resto é dado por r_{2}(v) com v\to 0); (ii) calcular o limite
\lim_{v\to 0}\frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}}.
Informações relevantes que temos:
f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{3}+5,
o centro da expansão é (0,0) (pois v\to 0), e v denota o vetor (x,y). Neste problema eu preciso produzir o polinômio de Taylor de ordem 2 (constante + termo linear + termo quadrático) e identificar o resto r_{2}(v), depois avaliar o limite pedido.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula de Taylor em várias variáveis (caso p=2) centrada em a=(0,0). A forma geral é
Df(0)[v] é a aplicação linear dada pelo gradiente em 0, isto é, o termo linear (produto escalar \nabla f(0)\cdot v);
D^{2}f(0)[v,v] é a forma quadrática associada à matriz Hessiana em 0, isto é, v^{T}H(0)v;
r_{2}(v) é o resto de ordem superior; se f tem derivadas de segunda ordem contínuas então r_{2}(v)=o(\|v\|^{2}), ou seja \displaystyle\frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}}\to 0 quando v\to 0.
Agora vou calcular cada termo concretamente para a nossa f.
Passo 3
Calcular f(0,0):
f(0,0)=0^{2}+2\cdot0\cdot0+3\cdot0^{3}+5=5.
Passo 4
Calcular o gradiente \nabla f(x,y) componente a componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+2y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x+9y^{2}.
Avaliando em (0,0) obtemos
\nabla f(0,0)=(0,0).
Portanto o termo linear é nulo:
Df(0)[v]=\nabla f(0,0)\cdot (x,y)=0.
Passo 5
Calcular a matriz Hessiana H(x,y) (segunda derivadas):
Observação didática: aqui, por f ser um polinômio, o resto é exatamente o termo de grau superior ao grau do polinômio truncado; neste caso ficou apenas 3y^{3}.