Escreva a fórmula de Taylor, no caso p=2, para a função f(x, y)=x^{2}+2 x y+3 y^{3}+5. Encontre o limite, \lim _{v \rightarrow 0} \frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) escrever a fórmula de Taylor para p=2 da função \;f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{3}+5\; em torno do ponto origem (isso está implícito porque o resto é dado por r_{2}(v) com v\to 0); (ii) calcular o limite
\lim_{v\to 0}\frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}}.
Informações relevantes que temos:
f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{3}+5,
o centro da expansão é (0,0) (pois v\to 0), e v denota o vetor (x,y). Neste problema eu preciso produzir o polinômio de Taylor de ordem 2 (constante + termo linear + termo quadrático) e identificar o resto r_{2}(v), depois avaliar o limite pedido.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula de Taylor em várias variáveis (caso p=2) centrada em a=(0,0). A forma geral é
f(0+v)=f(0)+Df(0)[v]+\tfrac{1}{2}D^{2}f(0)[v,v]+r_{2}(v),
onde:
  • f(0) é o valor da função no ponto de expansão;
  • Df(0)[v] é a aplicação linear dada pelo gradiente em 0, isto é, o termo linear (produto escalar \nabla f(0)\cdot v);
  • D^{2}f(0)[v,v] é a forma quadrática associada à matriz Hessiana em 0, isto é, v^{T}H(0)v;
  • r_{2}(v) é o resto de ordem superior; se f tem derivadas de segunda ordem contínuas então r_{2}(v)=o(\|v\|^{2}), ou seja \displaystyle\frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}}\to 0 quando v\to 0.
    Agora vou calcular cada termo concretamente para a nossa f.

Passo 3

Calcular f(0,0):
f(0,0)=0^{2}+2\cdot0\cdot0+3\cdot0^{3}+5=5.

Passo 4

Calcular o gradiente \nabla f(x,y) componente a componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+2y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x+9y^{2}.
Avaliando em (0,0) obtemos
\nabla f(0,0)=(0,0).
Portanto o termo linear é nulo:
Df(0)[v]=\nabla f(0,0)\cdot (x,y)=0.

Passo 5

Calcular a matriz Hessiana H(x,y) (segunda derivadas):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=2,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=2,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=18y.
Avaliando em (0,0) obtemos a matriz Hessiana em 0:
H(0)=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
A forma quadrática é v^{T}H(0)v. Fazendo o produto para v=(x,y):
v^{T}H(0)v = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} =2x^{2}+4xy+0\cdot y^{2}.
Logo o termo quadrático \tfrac{1}{2}v^{T}H(0)v é
\tfrac{1}{2}v^{T}H(0)v = x^{2}+2xy.]

Passo 6

Montando o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 0:
T_{2}(x,y)=f(0,0)+Df(0)[v]+\tfrac{1}{2}v^{T}H(0)v = 5 + 0 + (x^{2}+2xy)=5+x^{2}+2xy.
Agora calculo explicitamente o resto r_{2}(v) como a diferença entre f e T_{2}:
r_{2}(x,y)=f(x,y)-T_{2}(x,y)=\bigl(x^{2}+2xy+3y^{3}+5\bigr)-\bigl(5+x^{2}+2xy\bigr)=3y^{3}.
Observação didática: aqui, por f ser um polinômio, o resto é exatamente o termo de grau superior ao grau do polinômio truncado; neste caso ficou apenas 3y^{3}.

Passo 7

Calcular o limite pedido:
\lim_{v\to 0}\frac{r_{2}(v)}{\|v\|^{2}} =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Faço uma estimativa que mostra que isso tende a 0. Note que |y|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\|v\|, portanto
|r_{2}(x,y)|=|3y^{3}|\le 3|y|^{3}\le 3\|v\|^{3}.
Dividindo ambos os lados por \|v\|^{2} (para v\neq 0) obtemos
\left|\frac{r_{2}(x,y)}{\|v\|^{2}}\right|\le 3\|v\|,
e o lado direito 3\|v\| tende a 0 quando v\to 0. Portanto, pelo princípio da comparação, o limite existe e vale 0.
Também é possível ver diretamente que, se y=0 a razão é 0, e se y\neq 0 então
\left|\frac{3y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le \frac{3|y|^{3}}{y^{2}}=3|y|\to 0,
quando (x,y)\to(0,0). Ambas as formas dão o mesmo resultado: o limite é 0.

Resposta

\;0\;

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