Podemos aplicar o Teorema do Valor Médio na função
sobre os pontos distintos
e
? Isto é, existe
, tal que
onde
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e os pontos distintos
e
. Também é dada a reta
que liga esses pontos, descrita em forma paramétrica por
e o vetor unitário
.
A pergunta é: existe tal que
A pergunta é: existe
Ou seja, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio (por composição com a reta) para garantir um ponto na reta onde a derivada direcional na direção
é igual ao quociente incremental entre os extremos?
Passo 2
Vou transformar o problema numa aplicação do Teorema do Valor Médio em uma função de uma variável: parametrize a reta
por uma curva
e considere a função
. O Teorema do Valor Médio em uma variável diz: se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
com
Além disso,
coincide com a derivada direcional de
ao longo de
:
quando tudo é diferenciável. Vou aplicar esse raciocínio, mas primeiro preciso escrever
e
explicitamente e verificar continuidade/diferenciabilidade.
Passo 3
Parametrização da reta
: para
,
Logo as coordenadas são
Defino
Observe que
, que é contínuo para todo
. Note também que
ocorre quando
que está dentro do intervalo aberto
. Portanto a composição passa por um ponto em que a derivada parcial em
de
pode falhar em existir finitamente.
Passo 4
Calculo rápido dos valores nas extremidades para obter o quociente incremental:
Então o quociente pedido é
Passo 5
Agora calculo a derivada
para
tal que
(ou seja, para
). Usando a regra da cadeia:
Explico a derivada de
: para
,
porque derivando
temos
. Aqui
, então
. Essa fórmula dá uma derivada que diverge quando
. Como
e
, obtemos, para
,
Essa expressão é bem definida apenas quando
.
Passo 6
Procuro
com
(pois esse é o quociente incremental calculado). Igualando:
Multiplica-se por
e obtém-se
Isso exigiria
, o que é impossível para qualquer número real
(não existe
finito com
). Portanto não existe solução com
.
Resta checar o caso
(onde
). Nesse ponto a derivada
não é finita: explicitamente
diverge quando
. Em termos de
, os limites laterais de
ao aproximar
por valores menores e maiores que
vão para
e
, respectivamente, portanto
não existe (nem finito) em
. Assim não existe
com
.
Passo 7
Conclusão lógica e interpretação: a função composta
é contínua em
(porque
é contínuo), mas não é diferenciável em todo o intervalo aberto
— falha exatamente em
onde
. Portanto a hipótese do Teorema do Valor Médio (diferenciabilidade em todo o intervalo aberto) não se satisfaz, e de fato não existe ponto na reta
onde a derivada direcional valha o quociente incremental. Intuitivamente: o termo
tem um “cusp” em
, que impede a aplicação do TVM e impede a igualdade pedida.
Resposta
Não existe
tal que
.