Podemos aplicar o Teorema do Valor Médio na função f(x, y)=x^{\frac{2}{3}}+y sobre os pontos distintos (-1,-1) e (1,1) ? Isto é, existe (\lambda, \mu) \in L=\left\{(-1,-1)+t\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right): 0 \leq t \leq\right. 2 \sqrt{2}\}, tal que
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\lambda, \mu)=\frac{f(1,1)-f(-1,-1)}{2 \sqrt{2}},
onde \vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{\frac{2}{3}}+y e os pontos distintos (-1,-1) e (1,1). Também é dada a reta L que liga esses pontos, descrita em forma paramétrica por
L=\{(-1,-1)+t\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr):0\le t\le 2\sqrt{2}\},
e o vetor unitário \vec{u}=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
A pergunta é: existe (\lambda,\mu)\in L tal que
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\lambda,\mu)=\frac{f(1,1)-f(-1,-1)}{2\sqrt{2}}\,?
Ou seja, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio (por composição com a reta) para garantir um ponto na reta onde a derivada direcional na direção \vec{u} é igual ao quociente incremental entre os extremos?

Passo 2

Vou transformar o problema numa aplicação do Teorema do Valor Médio em uma função de uma variável: parametrize a reta L por uma curva \gamma(t) e considere a função \varphi(t)=f(\gamma(t)). O Teorema do Valor Médio em uma variável diz: se \varphi é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe t^*\in(a,b) com
\varphi'(t^*)=\frac{\varphi(b)-\varphi(a)}{b-a}.
Além disso, \varphi'(t) coincide com a derivada direcional de f ao longo de \gamma: \varphi'(t)=\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\gamma(t)) quando tudo é diferenciável. Vou aplicar esse raciocínio, mas primeiro preciso escrever \gamma(t) e \varphi(t) explicitamente e verificar continuidade/diferenciabilidade.

Passo 3

Parametrização da reta L: para t\in[0,2\sqrt{2}],
\gamma(t)=(-1,-1)+t\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Logo as coordenadas são
x(t)=-1+\frac{t}{\sqrt{2}},\qquad y(t)=-1+\frac{t}{\sqrt{2}}.
Defino
\varphi(t)=f(\gamma(t))=x(t)^{\frac{2}{3}}+y(t).
Observe que x(t)^{\frac{2}{3}}=(x(t)^2)^{1/3}=|x(t)|^{\frac{2}{3}}, que é contínuo para todo t. Note também que x(t)=0 ocorre quando
-1+\frac{t}{\sqrt{2}}=0\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{2},
que está dentro do intervalo aberto (0,2\sqrt{2}). Portanto a composição passa por um ponto em que a derivada parcial em x de f pode falhar em existir finitamente.

Passo 4

Calculo rápido dos valores nas extremidades para obter o quociente incremental:
f(1,1)=1^{\frac{2}{3}}+1=1+1=2,
f(-1,-1)=(-1)^{\frac{2}{3}}+(-1)=1-1=0.
Então o quociente pedido é
\frac{f(1,1)-f(-1,-1)}{2\sqrt{2}}=\frac{2-0}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora calculo a derivada \varphi'(t) para t tal que x(t)\neq 0 (ou seja, para t\neq\sqrt{2}). Usando a regra da cadeia:
\varphi'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(x(t)^{\frac{2}{3}}\bigr)+\frac{d}{dt}y(t).
Explico a derivada de x^{2/3}: para x\neq 0,
\frac{d}{dx}x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}},
porque derivando x^{p} temos p x^{p-1}. Aqui p=\tfrac{2}{3}, então p-1=-\tfrac{1}{3}. Essa fórmula dá uma derivada que diverge quando x\to 0. Como dx/dt=1/\sqrt{2} e dy/dt=1/\sqrt{2}, obtemos, para t\neq\sqrt{2},
\varphi'(t)=\frac{2}{3}x(t)^{-\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{2}{3}x(t)^{-\frac{1}{3}}+1\Bigr).
Essa expressão é bem definida apenas quando x(t)\neq 0.

Passo 6

Procuro t\in(0,2\sqrt{2}) com \varphi'(t)=\frac{1}{\sqrt{2}} (pois esse é o quociente incremental calculado). Igualando:
\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{2}{3}x(t)^{-\frac{1}{3}}+1\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Multiplica-se por \sqrt{2} e obtém-se
\frac{2}{3}x(t)^{-\frac{1}{3}}+1=1\quad\Rightarrow\quad\frac{2}{3}x(t)^{-\frac{1}{3}}=0.
Isso exigiria x(t)^{-\frac{1}{3}}=0, o que é impossível para qualquer número real x(t) (não existe x finito com x^{-1/3}=0). Portanto não existe solução com t\neq\sqrt{2}.
Resta checar o caso t=\sqrt{2} (onde x(t)=0). Nesse ponto a derivada \frac{d}{dx}x^{2/3} não é finita: explicitamente \frac{2}{3}x^{-1/3} diverge quando x\to 0. Em termos de \varphi, os limites laterais de \varphi'(t) ao aproximar t por valores menores e maiores que \sqrt{2} vão para -\infty e +\infty, respectivamente, portanto \varphi'(t) não existe (nem finito) em t=\sqrt{2}. Assim não existe t com \varphi'(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Conclusão lógica e interpretação: a função composta \varphi é contínua em [0,2\sqrt{2}] (porque x^{2/3} é contínuo), mas não é diferenciável em todo o intervalo aberto (0,2\sqrt{2}) — falha exatamente em t=\sqrt{2} onde x=0. Portanto a hipótese do Teorema do Valor Médio (diferenciabilidade em todo o intervalo aberto) não se satisfaz, e de fato não existe ponto na reta L onde a derivada direcional valha o quociente incremental. Intuitivamente: o termo x^{2/3} tem um “cusp” em x=0, que impede a aplicação do TVM e impede a igualdade pedida.

Resposta

Não existe (\lambda,\mu)\in L tal que \dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(\lambda,\mu)=\dfrac{f(1,1)-f(-1,-1)}{2\sqrt{2}}.

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