Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{0} e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0} e^{-2 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;e^{-2x}\;.
  • O intervalo de integração é de -1 até 0.
    O que é pedido: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar: para calcular uma integral indefinida precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=f(x). Para exponenciais da forma \;e^{a x}\; a primitiva é
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C,
onde a é uma constante e C é a constante de integração. Explicando isso rapidinho: derivando \frac{1}{a}e^{a x} pelo teorema da cadeia dá \frac{1}{a}\cdot a e^{a x}=e^{a x}, então é mesmo primitiva.
Aqui a variável de integração é x e a constante multiplicativa no expoente é a=-2.

Passo 3

Aplicando a regra com a=-2, a primitiva de \;e^{-2x}\; é
F(x)=\frac{1}{-2} e^{-2x} = -\frac{1}{2} e^{-2x}.
Vou checar rápido: derivando F(x) por x temos F'(x) = -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)e^{-2x}=e^{-2x}, que confere.

Passo 4

Agora usamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{-1}^{0} e^{-2 x}\,dx = F(0)-F(-1),
onde F(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}.

Passo 5

Calculemos os valores:
F(0) = -\frac{1}{2} e^{0} = -\frac{1}{2},
F(-1) = -\frac{1}{2} e^{-2(-1)} = -\frac{1}{2} e^{2} = -\frac{e^{2}}{2}.
Portanto
\int_{-1}^{0} e^{-2 x}\,dx = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{e^{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} = \frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr)

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