Questão 2

Provar que se um conjunto aberto A subset R^n é conexo então ele é conexo por caminhos.
Dica : para um ponto a in A voce pode olhar o conjunto de todos os pontos de A ligados a a por um caminho contido em A.

Passo 1

O enunciado pede para provar que se um conjunto aberto AsubsetR^n é conexo então ele é conexo por caminhos. O conteúdo usado será topologia básica em R^n: definição de conexidade, caminhos contínuos e o fato de que bolas abertas em R^n são convexas (e portanto caminho-conexas).

Passo 2

Escolhemos um ponto fixo ain A e definimos
C=xin A:existe caminho contínuo em A de a a x í
Note que ain C, logo Cneqemptyset.

Passo 3

Para mostrar que C é aberto em A, tome xin C. Como A é aberto existe r>0 tal que a bola Br(x)subset A. Sabendo que Br(x) é convexa, para qualquer yin Br(x) há caminho linear de x a y dentro de Br(x). Concatenando esse caminho com o de a a x (que existe pois xin C), obtemos um caminho contínuo de a a y contido em A. Assim yin C e Br(x)subset C.

Passo 4

Para mostrar que Asetminus C também é aberto em A, considere yin Asetminus C. Como A é aberto existe r>0 tal que Br(y)subset A. Se existisse algum zin Br(y)cap C, então há caminho de a a z em A e caminho linear de z a y em Br(y); juntando-os teríamos caminho de a a y em A, contradizendo ynotin C. Logo Br(y)subset Asetminus C.

Passo 5

Assim C é simultaneamente aberto e fechado em A, e não-vazio. Como A é conexo, a única decomposição em abertos relativos é ou C=emptyset ou C=A. Pelos argumentos anteriores Cneqemptyset, logo C=A. Isso significa que para todo xin A existe um caminho contínuo em A de a a x. Portanto A é conexo por caminhos.

Resposta

Qualquer conjunto aberto conexo AsubsetR^n é conexo por caminhos.

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