Questão 2
Provar que se um conjunto aberto
é conexo então ele é conexo por caminhos.
Dica : para um ponto
voce pode olhar o conjunto de todos os pontos de
ligados a
por um caminho contido em
.
Dica : para um ponto
Passo 1
O enunciado pede para provar que se um conjunto aberto
é conexo então ele é conexo por caminhos. O conteúdo usado será topologia básica em
: definição de conexidade, caminhos contínuos e o fato de que bolas abertas em
são convexas (e portanto caminho-conexas).
Passo 2
Escolhemos um ponto fixo
e definimos
Note que
, logo
.
Passo 3
Para mostrar que
é aberto em
, tome
. Como
é aberto existe
tal que a bola
. Sabendo que
é convexa, para qualquer
há caminho linear de
a
dentro de
. Concatenando esse caminho com o de
a
(que existe pois
), obtemos um caminho contínuo de
a
contido em
. Assim
e
.
Passo 4
Para mostrar que
também é aberto em
, considere
. Como
é aberto existe
tal que
. Se existisse algum
, então há caminho de
a
em
e caminho linear de
a
em
; juntando-os teríamos caminho de
a
em
, contradizendo
. Logo
.
Passo 5
Assim
é simultaneamente aberto e fechado em
, e não-vazio. Como
é conexo, a única decomposição em abertos relativos é ou
ou
. Pelos argumentos anteriores
, logo
. Isso significa que para todo
existe um caminho contínuo em
de
a
. Portanto
é conexo por caminhos.
Resposta
Qualquer conjunto aberto conexo
é conexo por caminhos.