Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
(a) integralC F cdot d r é um vetor.
(b) A integral de linha integralC F cdot d r é um escalar.
© Se C1 e C2 são duas curvas orientadas e o comprimento de C1 é maior que o comprimento de C2 então integralC1 F cdot d r>integralC2 F cdot d r
(d) Se integralC F cdot d r=0 então F=0.

Passo 1

O problema pede para classificarmos quatro afirmações sobre integrais de linha do tipo integralC vec F cdot dvec r como verdadeiras ou falsas, demonstrando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas.

Passo 2

A afirmação (a) diz que integralC vec F cdot dvec r é um vetor. Mas pela definição de integral de linha de um campo vetorial, temos pela parametrização vec r(t), tin[a,b], que
integralC vec F cdot dvec r = integrala^b vec F(vec r(t)) cdot vec r,'(t),dt,
onde cada vec F(vec r(t)) cdot vec r'(t) é um escalar. A soma (integral) desses valores escalar também é escalar, não vetor. Um contra-exemplo simples: seja vec F(x,y)=(1,0) e C qualquer curva; então integralC vec Fcdot dvec r é um número (escalares somados), não um vetor. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

A afirmação (b) diz que a integral de linha integralC vec F cdot dvec r é um escalar. Como já vimos na definição, o integrando vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) é um escalar e a operação de integração sobre escalares produz um escalar. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

A afirmação © afirma que, se duas curvas C1 e C2 têm comprimentos L1>L2, então sempre
integralC1vec Fcdot dvec r > integralC2vec Fcdot dvec r

Passo 5

Isso ignora a direção do campo e da curva. Contra-exemplo: tome vec F(x,y)=(1,0). Seja C1 uma curva vertical de comprimento 2 e C2 uma curva horizontal de comprimento 1. Então
integralC1(1,0)cdot dvec r = 0,
pois dvec r é vertical, e
integralC2(1,0)cdot dvec r = 1

Passo 6

Logo 0not>1, contrariando a afirmação. Portanto é falsa.

Passo 7

A afirmação (d) diz que, se integralC vec F cdot dvec r = 0, então vec F=0. Mas o valor da integral pode anular-se mesmo que vec F não seja nulo, por exemplo se vec F for sempre ortogonal à tangente da curva ou em curvas fechadas de campos conservativos. Um contra-exemplo: seja vec F(x,y)=(0,1) e C a linha horizontal de x=0 até x=1 em y=0. Então
dvec r = (dx,0)Rightarrow vec Fcdot dvec r = 0,dx = 0,

Passo 8

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integralCvec Fcdot dvec r = 0,
mas vec Fneq(0,0). Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa (b) Verdadeira © Falsa (d) Falsa

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