O problema pede para classificarmos quatro afirmações sobre integrais de linha do tipo integralC vec F cdot dvec r como verdadeiras ou falsas, demonstrando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas.
Passo 2
A afirmação (a) diz que integralC vec F cdot dvec r é um vetor. Mas pela definição de integral de linha de um campo vetorial, temos pela parametrização vec r(t), tin[a,b], que
integralC vec F cdot dvec r = integrala^b vec F(vec r(t)) cdot vec r,'(t),dt,
onde cada vec F(vec r(t)) cdot vec r'(t) é um escalar. A soma (integral) desses valores escalar também é escalar, não vetor. Um contra-exemplo simples: seja vec F(x,y)=(1,0) e C qualquer curva; então integralC vec Fcdot dvec r é um número (escalares somados), não um vetor. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 3
A afirmação (b) diz que a integral de linha integralC vec F cdot dvec r é um escalar. Como já vimos na definição, o integrando vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) é um escalar e a operação de integração sobre escalares produz um escalar. Logo a afirmação é verdadeira.
integralC1vec Fcdot dvec r > integralC2vec Fcdot dvec r
Passo 5
Isso ignora a direção do campo e da curva. Contra-exemplo: tome vec F(x,y)=(1,0). Seja C1 uma curva vertical de comprimento 2 e C2 uma curva horizontal de comprimento 1. Então
integralC1(1,0)cdot dvec r = 0,
pois dvec r é vertical, e integralC2(1,0)cdot dvec r = 1
Passo 6
Logo 0not>1, contrariando a afirmação. Portanto é falsa.
Passo 7
A afirmação (d) diz que, se integralC vec F cdot dvec r = 0, então vec F=0. Mas o valor da integral pode anular-se mesmo que vec F não seja nulo, por exemplo se vec F for sempre ortogonal à tangente da curva ou em curvas fechadas de campos conservativos. Um contra-exemplo: seja vec F(x,y)=(0,1) e C a linha horizontal de x=0 até x=1 em y=0. Então
dvec r = (dx,0)Rightarrow vec Fcdot dvec r = 0,dx = 0,
Passo 8
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integralCvec Fcdot dvec r = 0,
mas vec Fneq(0,0). Portanto a afirmação é falsa.