Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-1^2(1x^2+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^2l(1x^2 + xr),dx
Aqui o conteúdo é integração de funções racionais e polinomiais, mas note que tfrac1x^2 é descontínua em x=0. Logo teremos uma integral imprópria.

Passo 2

Para lidar com a descontinuidade em x=0, dividimos a integral em três partes: a parte polinomial, que é própria, e duas integrais impróprias de tfrac1x^2 aproximando-se de 0 pela esquerda e pela direita. Assim escrevemos
integral-1^2l(1x^2 + xr),dx = integral-1^2 x,dx + limato0^-integral-1^a1x^2,dx + limbto0^+integralb^21x^2,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a parte polinomial, que não apresenta problema de convergência:
integral-1^2 x,dx = gl[x^22gr]-1^2 = 2^22 - (-1)^22 = 2 - tfrac12 = tfrac32

Passo 4

Agora analisamos as integras impróprias de tfrac1x^2. Para qualquer a<0 temos
integral-1^a1x^2,dx = l[-tfrac1xr]-1^a = -1a - l(-1r) = -1a + 1
Ao fazer ato0^-, temos -1/ato +infty, então
limato0^-integral-1^a1x^2,dx = +infty
De modo análogo, também
limbto0^+integralb^21x^2,dx = +infty
Como pelo menos uma das partes diverge para +infty, toda a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral é divergente (não converge para valor finito).

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