Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral0^pi / 2 e^sen^2 theta sen 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a regra da substituição. O enunciado pede para calcular:
integral0^pi2 e^sin^2 theta sin 2theta , dtheta
Aqui, estamos lidando com uma integração envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma variável nova, simplificando a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que sin 2theta pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 e^sin^2 theta cdot 2 sin theta cos theta , dtheta

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos deixar u = sin^2 theta. Assim, precisamos encontrar du:
u = sin^2 theta du = 2 sin theta cos theta , dtheta
Perceba que 2 sin theta cos theta , dtheta é exatamente o que está na nossa integral. Então, a integral se simplifica para:
integralu(0)^u(pi2) e^u , du

Passo 4

Vamos agora calcular os novos limites de integração após a substituição:
u(0) = sin^2(0) = 0 u(pi2) = sin^2(pi2) = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 e^u , du

Passo 5

Integrando e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

A integral vale e - 1.

Exercícios relacionados