Calcule as seguintes integrais definidas.
(a) integral-raiz3^raiz3 4 xraizx^2+1 d x
(d) integral0^pi / 3 sec ^3 x tg x d x
(g) integral0^1 1(x+1)(x^2+1) d x
(b) integral1^4 12 raizx(1+raizx)^2 d x
(e) integral4^8 xx^2-2 x-3 d x
(h) integral2^3 2 x+3(x-1)(x^2+2 x+2) d x
(c) integral0^1 x^3 raizx^2+1 d x
(f) integral1^2 ln xx^2 d x
(i) integral0^pi / 2 x^3 cos (2 x) d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular nove integrais definidas envolvendo técnicas variadas de cálculo integral. Vamos usar simetria de funções pares ou ímpares, substituições usuais, decomposição em frações parciais e integração por partes, conforme o caso, para obter cada resultado.

Passo 2

Para
integral-raiz3^raiz3 4xraizx^2+1,dx
note que a função
f(x)=4xraizx^2+1
é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Como os limites são simétricos em torno de zero, a integral de uma função ímpar é zero.

Passo 3

Para
integral1^4 12raizx,(1+raizx)^2,dx
faça a substituição ,t=raizx, de modo que ,x=t^2, ,dx=2t,dt. A integral fica
integral1^212,t,(1+t)^2;2t,dt =integral1^2dt(1+t)^2 =gl[-11+tgr]1^2 =16

Passo 4

Para
integral0^1x^3raizx^2+1,dx
use a substituição ,u=x^2+1, ,du=2x,dx. Temos x^3dx=x^2,x,dx=(u-1),du2. Assim
integral0^1x^3raizx^2+1,dx =tfrac12integral1^2(u-1),u^1/2,du =tfrac12integral1^2l(u^3/2-u^1/2r)du =2raiz215+215 =2(raiz2+1)15

Passo 5

Para
integral0^pi/3sec^3x,tan x,dx
faça u=sec x, então du=sec xtan x,dx. A integral torna-se
integral1^2u^2,du =l[tfracu^33r]1^2 =73

Passo 6

Para
integral4^8xx^2-2x-3,dx
faça a decomposição em frações parciais em
,x^2-2x-3=(x-3)(x+1).
Obtém-se
x(x-3)(x+1) =3/4x-3+1/4x+1,
logo
integral4^8xx^2-2x-3dx =34ln|x-3|+14ln|x+1||4^8 =tfrac12ln(15)

Passo 7

Para
integral1^2ln xx^2,dx
use integração por partes com u=ln x, dv=x^-2dx. Então du=dx/x e v=-1/x. Logo
integral1^2ln xx^2dx =l-ln xxr|1^2 +integral1^21x^2dx =1-ln22

Passo 8

Para
integral0^11(x+1)(x^2+1),dx
faça frações parciais
1(x+1)(x^2+1) =1/2x+1+-tfrac12,x+tfrac12x^2+1
Integrando, obtém-se
14ln(x+1)-14ln(x^2+1)+12arctan x|0^1 =14ln2+pi8

Passo 9

Para
integral2^32x+3(x-1)(x^2+2x+2),dx
decomponha em
2x+3(x-1)(x^2+2x+2) =1x-1-x+1(x+1)^2+1
Integre cada parte e avalie de 2 a 3, obtendo
12ln!l(tfrac4017r)

Passo 10

Para
integral0^pi/2x^3cos(2x),dx
use integração por partes repetidamente. Após duas aplicações chega-se a
integral0^pi/2x^3cos(2x)dx =34-3pi^216

Resposta

(a) 0
(b) tfrac16
(c) tfrac2(raiz2+1)15
(d) tfrac73
(e) tfrac12ln(15)
(f) tfrac1-ln22
(g) tfrac14ln2+tfracpi8
(h) tfrac12ln!l(tfrac4017r)
(i) tfrac34-tfrac3pi^216

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