Resumindo o enunciado: precisamos calcular nove integrais definidas envolvendo técnicas variadas de cálculo integral. Vamos usar simetria de funções pares ou ímpares, substituições usuais, decomposição em frações parciais e integração por partes, conforme o caso, para obter cada resultado.
Passo 2
Para
note que a função
é ímpar, pois . Como os limites são simétricos em torno de zero, a integral de uma função ímpar é zero.
Passo 3
Para
faça a substituição , de modo que , . A integral fica
Passo 4
Para
use a substituição , . Temos . Assim
Passo 5
Para
faça , então . A integral torna-se
Passo 6
Para
faça a decomposição em frações parciais em .
Obtém-se
logo
Passo 7
Para integral1^2ln xx^2,dx
use integração por partes com u=ln x, dv=x^-2dx. Então du=dx/x e v=-1/x. Logo