Calcule as seguintes integrais definidas.
integral0^pi / 3 sec ^3 x tg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/3sec^3x,tan x,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois vemos um produto de potências de sec x e tan x que sugere escolher uma dessas funções como nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sec x,
então
du = sec xtan x,dx
Repare que
sec^3x,tan x,dx = sec^2xl(sec xtan x,dxr) = sec^2x,du
Como sec x = u, temos sec^2x = u^2.

Passo 3

Substituindo em termos de u e ajustando os limites:
quando x=0, u=sec0=1;
quando x=pi/3, u=sec(pi/3)=2.
Assim,
integral0^pi/3sec^3x,tan x,dx = integral1^2u^2,du

Passo 4

Integramos em u:
integral u^2,du = u^33
Avaliaremos de u=1 a u=2:
u^33|1^2 = 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73

Resposta

73

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