Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralxi^xf d x cos (x),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralxi^xfcos(x),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e técnicas de substituição ou de integração por partes. Aqui reconhecemos que a antiderivada de cos(x) é sin(x), então vamos aplicar diretamente o teorema.

Passo 2

Para deixar explícito o método de substituição, fazemos
u = x Longrightarrow du = dx
Então a integral fica
integralxi^xfcos(x),dx = integralu(xi)^u(xf)cos(u),du,
mas como u(xi)=xi e u(xf)=xf, nada muda de fato no intervalo.

Passo 3

Sabendo que
ddul(sin(u)r)=cos(u),
a antiderivada de cos(u) é sin(u). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos em u=xf e em u=xi:
integralxi^xfcos(x),dx = l[sin(u)r]u=xi^u=xf = sin(xf)-sin(xi)

Passo 4

Caso você queira ver como seria por integração por partes (não é necessário aqui, mas só para ilustrar), escolha
U = cos(x), & dV = dx, dU = -sin(x),dx, & V = x
Então
integral cos(x),dx = xcos(x) - integral xl(-sin(x)r),dx = xcos(x) + integral xsin(x),dx,
o que se complica mais; por isso a substituição direta é sempre preferível.

Resposta

integralxi^xfcos(x),dx = sin(xf) - sin(xi)

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