Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralxi^xf d x sen(3 x+1),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralxi^xf sin(3x+1),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e substituição de variáveis. Vamos precisar reconhecer que uma boa escolha de substituição simplifica a parte interna (3x+1) e depois aplicar o teorema para avaliar nos limites.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x + 1,
de modo que
du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
Os limites em x se transformam em
ui = 3xi + 1, uf = 3xf + 1
Portanto
integralxi^xf sin(3x+1),dx = integralui^uf sin(u),du3 = 13integralui^uf sin(u),du

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de sin(u). Sabemos que
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Logo,
13integralui^ufsin(u),du = 13l[-cos(u)r]ui^uf

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos nos limites ui e uf:
13l[-cos(u)r]ui^uf = 13l[-cos(uf) - l(-cos(ui)r)r] = -13cos(uf) + 13cos(ui)

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos ui = 3xi + 1 e uf = 3xf + 1. Assim,
integralxi^xfsin(3x+1),dx = 13l[cos(3xi+1) - cos(3xf+1)r]

Resposta

boxedintegralxi^xfsin(3x+1),dx = 13l[cos(3xi+1) - cos(3xf+1)r]

Exercícios relacionados