Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
lim (x, y) (0,0) -36 x y2 x^2+2 y^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite da função -36 x y2 x^2+2 y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite existe ou não, analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. A função dada é -36 x y2 x^2+2 y^2. A gente pode fatorar o denominador:
-36 x y2(x^2 + y^2) = -18 x yx^2 + y^2

Passo 3

Para verificar o limite, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam (x, y) a (0,0). Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro, vamos considerar o caminho y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y por kx:
-18 x (k x)x^2 + (k x)^2 = -18 k x^2x^2(1 + k^2) = -18 k1 + k^2
Esse resultado mostra que o limite depende do valor de k. Por exemplo, se k = 1, o limite é -9; se k = 2, o limite é -7,2.

Passo 5

Como o limite depende do valor de k, ou seja, do caminho que escolhemos para aproximar (0,0), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos dependendo do caminho de aproximação.

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