Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite existe ou não, analisando diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. A função dada é
. A gente pode fatorar o denominador:
Passo 3
Para verificar o limite, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam
a
. Se os limites forem diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro, vamos considerar o caminho
, onde
é uma constante. Substituindo
por
:
Esse resultado mostra que o limite depende do valor de
. Por exemplo, se
, o limite é
; se
, o limite é
.
Passo 5
Como o limite depende do valor de
, ou seja, do caminho que escolhemos para aproximar
, isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe porque valores diferentes são obtidos dependendo do caminho de aproximação.