Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^2 x^2x^3-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^2 x^2x^3-2,dx
Percebemos que o denominador x^3-2 se anula em
c=raiz[3]2,
que pertence ao intervalo [1,2]. Portanto é uma integral imprópria com singularidade interna. Vamos primeiro achar a primitiva por substituição e depois discutir a convergência.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x^3-2 Longrightarrow du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = 13,du,
obtemos a primitiva
integral x^2x^3-2,dx = 13integral duu = 13lnl|ur| + C = 13lnl|x^3-2r| + C

Passo 3

Para tratar a singularidade em x=c=raiz[3]2, escrevemos
integral1^2 x^2x^3-2,dx =limato c^-integral1^ax^2x^3-2,dx +limbto c^+integralb^2x^2x^3-2,dx
Cada parte, usando a primitiva tfrac13ln|x^3-2|, dá termo tfrac13ln|x^3-2| avaliado em pontos que se aproximam de c. Como
lnl|x^3-2r|to -infty ao aproximar xto c, cada limite diverge para -infty.

Passo 4

Como pelo menos uma das integrais parciais diverge, a integral total também diverge. Não há valor finito para
integral1^2x^2x^3-2,dx.

Resposta

A integral é divergente; não converge para um valor finito.

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