Calcule as seguintes integrais definidas:
© integral0^pi / 4 sec ^2(x)(tg(x)+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
ddxtan(x)=sec^2(x)
Este é um caso clássico de substituição, usando a identidade
.

Passo 2

Fazendo a substituição
u=tan(x)+1, temos
du=sec^2(x),dx.
Ao trocar os limites:
  • Quando x=0, u=tan(0)+1=1.
  • Quando x=pi/4, u=tan(pi/4)+1=2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
I=integral1^2u^-2,du

Passo 4

Agora, basta integrar e avaliar nos limites:
integral1^2u^-2,du =[-u^-1]1^2 =l(-tfrac12r)-l(-1r) =tfrac12

Resposta

tfrac12

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