Seja um difeomorfismo tal que , onde é a bola unitaria fechada de e tal que para todo . Provar que para toda função continua tem-se
onde .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se temos um difeomorfismo que manda a bola unitaría fechada em si mesma e satisfaz em todo , então para qualquer contínua vale
Para isso vamos usar mudança de variável, produto de determinantes jacobianos e o fato de que contínua em compacto é limitada.
Passo 2
Como é contínua em que é compacta, existe
Esse vai controlar a taxa de encolhimento das volumes.
Passo 3
Pelo teorema da mudança de variável repetidamente aplicado em , temos
Ou seja, o volume de f^n(B) decresce geometricamente a zero.
Passo 4
Como g é contínua em B, ela é limitada, digamos |g(x)|<= M para todo xin B. Assim