Questão 4

Seja f: R^n R^n um difeomorfismo tal que f(B) subset B, onde B é a bola unitaria fechada de R^n e tal que |det d f(x)|<1 para todo x in B. Provar que para toda função continua g: B R tem-se
lim n infty integralf^n(B) g(x) d x=0
onde f^n=f circ cdots circ f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se temos um difeomorfismo f: R^nto R^n que manda a bola unitaría fechada B em si mesma e satisfaz |det df(x)|<1 em todo B, então para qualquer contínua g:Bto R vale
limntoinftyintegralf^n(B)g(x),dx=0
Para isso vamos usar mudança de variável, produto de determinantes jacobianos e o fato de que contínua em compacto é limitada.

Passo 2

Como xmapsto|det df(x)| é contínua em B que é compacta, existe
m:=supxin B|det df(x)|<1
Esse m<1 vai controlar a taxa de encolhimento das volumes.

Passo 3

Pelo teorema da mudança de variável repetidamente aplicado em f^n, temos
vol(f^n(B)) =integralBl|det d(f^n)(x)r|,dx =integralBprodk=0^n-1l|det df(f^k(x))r|,dx <= m^n,vol(B)
Ou seja, o volume de f^n(B) decresce geometricamente a zero.

Passo 4

Como g é contínua em B, ela é limitada, digamos |g(x)|<= M para todo xin B. Assim

Passo 5

l|integralf^n(B)g(x),dxr| <= M,vol(f^n(B)) <= M,m^n,vol(B) longrightarrow0 (ntoinfty)

Passo 6

Portanto
limntoinftyintegralf^n(B)g(x),dx=0

Resposta

0

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