Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^5 x e^-x d x (dica: use a integração por partes).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^5 x e^-x,dx
usando integração por partes. O conteúdo envolvido é a técnica de integrar um produto u,dv escolhendo u e dv de forma conveniente, lembrando que
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma:
u = x e dv = e^-x,dx
Dessas escolhas decorrem
du = dx e v = integral e^-x,dx = -e^-x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes para a primitiva integral x e^-x,dx, temos
integral x e^-x,dx = u,v - integral v,du = xl(-e^-xr) - integral l(-e^-xr),dx = -x e^-x + integral e^-x,dx
Como integral e^-x,dx = -e^-x, obtemos a primitiva
integral x e^-x,dx = -x e^-x - e^-x + C = -(x+1)e^-x + C

Passo 4

Para a integral definida, avaliamos a primitiva entre 0 e 5:
[-(x+1)e^-x]0^5 = l[-(5+1)e^-5r] - l[-(0+1)e^0r] = -6e^-5 - l[-1r] = -6e^-5 + 1

Resposta

integral0^5 x e^-x,dx = 1 - 6e^-5

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