Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=(-1)^n cdot ln nn

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
an=(-1)^n,ln nn
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. Vamos usar conhecimentos de limite de função (regra de L’Hôpital) e o teorema do confronto para sequências.

Passo 2

Primeiro, examinamos o comportamento de ln nn. Considere a função contínua
f(x)=ln xx, x>0
Para xtoinfty, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limxtoinftyln xx =limxtoinftytfracddx(ln x)tfracddx(x) =limxtoinfty1/x1 =0
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limntoinftyln nn=0

Passo 3

Note que
l|anr|=ln nn
Como limntoinftyl|anr|=0, pelo teorema do confronto concluímos que
limntoinftyan=0

Resposta

A sequência converge e seu limite é
limntoinftyan=0

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