( 2,0 pontos) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da seguinte função:
F(x)=integralraizx^x^3 raizt cos t d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integralraizx^x^3raiztcos t,dt
O conteúdo aplicado é o Teorema Fundamental do Cálculo com limites que dependem de x (regra de Leibniz), além de usar a cadeia para derivar esses limites.

Passo 2

Pela regra de Leibniz, se
G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt,
então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Aqui a(x)=raizx e b(x)=x^3. Logo,
a'(x)=12raizx, b'(x)=3x^2

Passo 4

A função integrando é f(t)=raiztcos t. Aplicando a fórmula:
F'(x) =raizx^3cos(x^3)cdot3x^2 ;-;raizraizxcos(raizx)cdot12raizx

Passo 5

Simplificando as potências: raizx^3=x^3/2 e raizraizx=x^1/4. Então
F'(x) =3x^2cdot x^3/2cos(x^3) ;-; x^1/4cos(raizx)cdot12x^1/2 =3x^7/2cos(x^3) -12,x^-1/4cos(raizx)

Resposta

F'(x)=3x^7/2cos(x^3);-;12,x^-1/4cos(raizx)

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