Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2 x raiz1+x^2 d x (dica: Faça uma substituição);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 xraiz1+x^2,dx
O conteúdo a usar é integração por substituição, pois vemos a parte interna 1+x^2 e sua derivada está presente como x,dx.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + x^2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = tfrac12,du
Quando x=0, u=1; quando x=2, u=5. Logo,
integral0^2 xraiz1+x^2,dx = integralu=1^u=5 raizu,12,du = 12integral1^5 u^1/2,du

Passo 3

Para integrar integral1^5 u^1/2,du aplicamos a regra de potência:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23,u^3/2
Multiplicando por tfrac12 fica
12integral1^5 u^1/2,du = 12cdot23,u^3/2|1^5 = 13,u^3/2|1^5

Passo 4

Avaliaremos em u=5 e u=1:
13l(5^3/2 - 1^3/2r) = 13l(5raiz5 - 1r)

Resposta

integral0^2 xraiz1+x^2,dx = 5raiz5-13

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