1. (2 pt pt)Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas
    (a) integral0^1 integraly^raizy f(x, y) d x d y
    (b) integral0^2 integral0^x^2+1 f(x, y) d y d x
    (c) integral0^1 integralarcsen y^y pi2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O exercício pede para, em cada caso, desenhar a região do plano (x,y) dada pelos limites da integração e depois trocar a ordem de integração. Vamos usar o fato de que cada integral iterada define um conjunto de inequações em x e y, e que, para inverter, precisamos encontrar para cada variável externa nova os limites mínimos e máximos que cobrem toda a região.

Resposta

a) Região: 0≤y≤1 e y≤x≤√y (entre as curvas y=x² e y=x). Invertendo:
integral0^1integraly^raizyf(x,y),dx,dy =integral0^1integralx^2^xf(x,y),dy,dx
b) Região: 0≤x≤2 e 0≤y≤x²+1 (sob a parábola y=x²+1). Invertendo por faixas de y:
integral0^2integral0^x^2+1f(x,y),dy,dx =integral0^1integral0^2f(x,y),dx,dy +integral1^5integralraizy-1^2f(x,y),dx,dy
c) Região: 0≤y≤1 e arcsin(y)≤x≤(π/2)y (entre x=arcsin(y) e x=(π/2)y). Invertendo:
integral0^1integralarcsin(y)^(pi/2)yf(x,y),dx,dy =integral0^pi/2integral2x/pi^sin xf(x,y),dy,dx

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