(2,0 pontos) A região delimitada pelas curvas y=3 raizx e y=3 x é rotacionada em torno do eixo x. Determine seu volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=3raizx e y=3x. O conteúdo necessário é o método dos discos (ou anéis), que usa a fórmula
V = piintegrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno do anel em cada x.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
3raizx = 3x Longrightarrow raizx = x Longrightarrow x(x-1)=0
logo os limites em x são x=0 e x=1.

Passo 3

Para cada xin[0,1], a curva y=3raizx está acima de y=3x. Ao girar em torno do eixo x, temos:
– raio externo R(x)=3raizx,
– raio interno r(x)=3x.

Passo 4

Montamos o integral do volume como anel:
V = pi integral0^1 l[(3raizx)^2 - (3x)^2r],dx = pi integral0^1 l(9x - 9x^2r),dx

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^19x,dx = 92, integral0^19x^2,dx = 3,
portanto
V = pil(92 - 3r) = picdot32 = 3pi2

Resposta

V = 3pi2

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