Calcule as seguintes integrais definidas:
integral3 pi2^pi x cos x d x (dica: use a integração por partes).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral3pi2^pi xcos x,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar a integração por partes:
u = x, logo du = dx,
dv = cos x,dx, logo v = sin x.
Substituindo na fórmula, obtemos a primitiva:
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx

Passo 3

Calculamos a integral restante:
integral sin x,dx = -cos x
Logo a primitiva geral é
integral xcos x,dx = xsin x + cos x + C

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de tfrac3pi2 a pi:
[xsin x + cos x]3pi2^pi = l(pisinpi + cospir) - l(tfrac3pi2sintfrac3pi2 + costfrac3pi2r)

Passo 5

Calculando cada termo:
sinpi = 0, cospi = -1 sintfrac3pi2 = -1, costfrac3pi2 = 0
Assim,
picdot0 + (-1) = -1, tfrac3pi2cdot(-1) + 0 = -tfrac3pi2
Portanto o valor da integral é
-1 - l(-tfrac3pi2r) = tfrac3pi2 - 1

Resposta

integral3pi2^pi xcos x,dx = 3pi2 - 1

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