Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=n^-10sec n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an=n^-10sec n
e decidir se ela converge ou diverge. O tema é limites de sequências e vamos usar propriedades trigonométricas e o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Usamos a identidade sec n = 1/cos n. Assim,
an = n^-10,cos n

Passo 3

Sabemos que para todo n vale
-1 <= cos n <= 1
Multiplicando por n^-10>=0, obtemos
-,n^-10 <= n^-10cos n <= n^-10
Isto é,
-,n^-10 <= an <= n^-10

Passo 4

Como limntoinftyn^-10=0, pelo Teorema do Confronto segue que
limntoinftyan=0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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