Dê a equação do plano que passa pelo ponto P=(1,1,1) e é paralelo aos vetores u=(1,0,1) e v=(2,-1,3). Verifique que o ponto Q=(3,1,3) pertence ao plano encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto P = (1,1,1) e é paralelo aos vetores u = (1,0,1) e v = (2,-1,3) . Além disso, precisamos verificar se o ponto Q = (3,1,3) está nesse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos no espaço tridimensional e como usar vetores paralelos para definir um plano.

Passo 2

Primeiro, para definir um plano no espaço, a gente precisa de um ponto que pertence a ele (no caso, o ponto P ) e de um vetor normal ao plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Como o plano é paralelo aos vetores u e v , isso significa que o vetor normal deve ser perpendicular a ambos.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal, vamos calcular o produto vetorial entre u e v . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial n = u times v é:
n = uy vz - uz vy uz vx - ux vz ux vy - uy vx
Substituindo os valores de u = (1,0,1) e v = (2,-1,3) :
n = 0 cdot 3 - 1 cdot (-1) 1 cdot 2 - 1 cdot 3 1 cdot (-1) - 0 cdot 2 = 0 + 1 2 - 3 -1 - 0 = 1 -1 -1
Então, o vetor normal é n = (1, -1, -1) .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal, podemos escrever a equação do plano. A equação geral de um plano usando um ponto P0 = (x0, y0, z0) e um vetor normal n = (A, B, C) é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo n = (1, -1, -1) e P = (1,1,1) :
1(x - 1) -1(y - 1) -1(z - 1) = 0
Simplificando:
x - 1 - y + 1 - z + 1 = 0
x - y - z + 1 = 0
Portanto, a equação do plano é:
x - y - z + 1 = 0

Passo 5

Por último, vamos verificar se o ponto Q = (3,1,3) está mesmo nesse plano. Para isso, basta substituir as coordenadas de Q na equação do plano e ver se a igualdade é satisfeita.
Substituindo x = 3 , y = 1 e z = 3 na equação x - y - z + 1 = 0 :
3 - 1 - 3 + 1 = 0
0 = 0
Como a igualdade se confirma, o ponto Q realmente pertence ao plano encontrado.

Resposta

A equação do plano é x - y - z + 1 = 0 e o ponto Q = (3,1,3) pertence a esse plano.

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