Dê a equação do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Verifique que o ponto pertence ao plano encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Além disso, precisamos verificar se o ponto está nesse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos no espaço tridimensional e como usar vetores paralelos para definir um plano.
Passo 2
Primeiro, para definir um plano no espaço, a gente precisa de um ponto que pertence a ele (no caso, o ponto ) e de um vetor normal ao plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Como o plano é paralelo aos vetores e , isso significa que o vetor normal deve ser perpendicular a ambos.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Substituindo os valores de u = (1,0,1) e v = (2,-1,3) :
Agora que temos o vetor normal, podemos escrever a equação do plano. A equação geral de um plano usando um ponto P0 = (x0, y0, z0) e um vetor normal n = (A, B, C) é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo n = (1, -1, -1) e P = (1,1,1) :
1(x - 1) -1(y - 1) -1(z - 1) = 0
Simplificando:
x - 1 - y + 1 - z + 1 = 0
x - y - z + 1 = 0
Portanto, a equação do plano é:
x - y - z + 1 = 0
Passo 5
Por último, vamos verificar se o ponto Q = (3,1,3) está mesmo nesse plano. Para isso, basta substituir as coordenadas de Q na equação do plano e ver se a igualdade é satisfeita.
Substituindo x = 3 , y = 1 e z = 3 na equação x - y - z + 1 = 0 :
3 - 1 - 3 + 1 = 0
0 = 0
Como a igualdade se confirma, o ponto Q realmente pertence ao plano encontrado.
Resposta
A equação do plano é x - y - z + 1 = 0 e o ponto Q = (3,1,3) pertence a esse plano.