Calcule as seguintes integrais definidas.
integral1^4 12 raizx(1+raizx)^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
integral1^4 12 raizx(1+raizx)^2,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, pois ao notar raizx no integrando, uma escolha natural é u=raizx.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = raizx Longrightarrow x = u^2, dx = 2u,du,
temos também raizx=u. Substituindo no integrando:
12raizx(1+raizx)^2,dx = 12u(1+u)^2,(2u,du) = 1(1+u)^2,du

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração. Quando x=1, u=raiz1=1; quando x=4, u=raiz4=2. Assim o integral em u fica
integral1^2 1(1+u)^2,du

Passo 4

Para integrar 1(1+u)^2=(1+u)^-2, usamos
integral (1+u)^-2,du = -11+u
Aplicando os limites:
integral1^2 1(1+u)^2,du = [-11+u]1^2 = l(-tfrac13r) - l(-tfrac12r) = 12 - 13 = 16

Resposta

16

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