Calcule o valor da soma:
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
sumn=1^infty1n(n+1)(n+2).
O conteúdo aqui é soma de séries telescópicas, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para identificar o “telescópio”.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais para expressar cada termo como diferença de termos vizinhos. Basta verificar que
1n(n+1)(n+2) =12l(1n(n+1)-1(n+1)(n+2)r)

Passo 3

Definindo a soma parcial até N,
SN=sumn=1^N1n(n+1)(n+2) =12sumn=1^Nl(1n(n+1)-1(n+1)(n+2)r)
Essa soma telescopa: quase todos os termos internos cancelam, sobrando apenas
SN =12l(11cdot2-1(N+1)(N+2)r) =12l(12-1(N+1)(N+2)r)

Passo 4

Fazendo Ntoinfty, o segundo termo vai a zero, então
sumn=1^infty1n(n+1)(n+2) =limNtoinftySN =12cdot12 =14

Resposta

14

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