Esta questão se dedica ao cálculo da derivada primeira de cada uma das funções listadas abaixo utilizando-se das 5 derivadas conhecidas, da linearidade da derivada, da regra do produto e da regra da cadeia.
dd x(ln (x) e^1x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ln(x)e^1/x usando as derivadas conhecidas, a linearidade, a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos aplicar:
  • derivada de ln(x),
  • derivada de e^u(x) com u(x)=1/x,
  • e a regra do produto para a função f(x)=u(x),v(x).

Passo 2

Identificamos os fatores do produto:
u(x)=ln(x)
v(x)=e^1/x

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
Para u(x)=ln(x) vale
u'(x)=ddxln(x)=1x
Para v(x)=e^1/x usamos cadeia com w(x)=1/x, logo
w'(x)=ddx1x=-1x^2,
e
v'(x)=ddxe^w(x)=e^w(x)cdot w'(x) =-e^1/x,1x^2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
ddxl(u(x)v(x)r) =u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 5

Substituindo u, u', v e v' obtemos
ddxl(ln(x)e^1/xr) =1x,e^1/x +ln(x),l(-e^1/x,1x^2r)

Passo 6

Colocando em evidência e^1/x/x^2:
ddxl(ln(x)e^1/xr) =e^1/xl(1x-ln(x)x^2r) =e^1/xx^2l(x-ln(x)r)

Resposta

ddxl(ln(x)e^1/xr) =e^1/xx^2l(x-ln(x)r)

Exercícios relacionados