Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
an=2 n+13 n+2

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 2n+13n+2,
e pede para verificar se ela é crescente ou decrescente, se é limitada e se converge. Vamos usar a diferença entre termos sucessivos para estudar monotonicidade, resolver inequações para limites de ordem e aplicar o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas.

Passo 2

Calcular
an+1 = 2(n+1)+13(n+1)+2 = 2n+33n+5,
então
an+1-an = 2n+33n+5 - 2n+13n+2 = (2n+3)(3n+2) - (2n+1)(3n+5)(3n+5)(3n+2)
Expandindo o numerador:
(2n+3)(3n+2)=6n^2+13n+6, (2n+1)(3n+5)=6n^2+13n+5,
logo
an+1-an = 1(3n+5)(3n+2) > 0
Como o denominador é positivo para todo n>=1, segue que an+1>an: a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Mostrar que an é limitada. Para n>=1:
  1. Provar an<tfrac23:
    2n+13n+2 < 23 ;Long<=ftrightarrow; 3(2n+1) < 2(3n+2) ;Long<=ftrightarrow; 6n+3 < 6n+4,
    que é sempre verdadeiro.
  2. Provar an>tfrac12:
    2n+13n+2 > 12 ;Long<=ftrightarrow; 2(2n+1) > 3n+2 ;Long<=ftrightarrow; 4n+2 >3n+2 ;Long<=ftrightarrow; n>0,
    também sempre verdadeiro para n>=1.
Logo
12 < an < 23,
ou seja, a sequência é limitada.

Passo 4

Como an é crescente e limitada superiormente por tfrac23, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Para achar o limite, basta observar o grau do numerador e denominador em
an = 2n+13n+2
e obter
limntoinftyan = 23

Resposta

A sequência an é estritamente crescente, limitada ( tfrac12 < an < tfrac23) e convergente, com
limntoinftyan = 23

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