Verifique se as sequências dadas são crescentes, decrescentes, limitadas e/ou convergentes.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é crescente ou decrescente, se é limitada e se converge. Vamos usar a diferença entre termos sucessivos para estudar monotonicidade, resolver inequações para limites de ordem e aplicar o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas.
Passo 2
Calcular
então
Expandindo o numerador:
logo
Como o denominador é positivo para todo
, segue que
: a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Mostrar que
é limitada. Para
:
-
Provar
: que é sempre verdadeiro. -
Provar
: também sempre verdadeiro para.
Logo
ou seja, a sequência é limitada.
Passo 4
Como
é crescente e limitada superiormente por
, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Para achar o limite, basta observar o grau do numerador e denominador em
e obter
Resposta
A sequência
é estritamente crescente, limitada (
) e convergente, com