Calcule as seguintes integrais definidas usando somas de Riemann:
integral0^1 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida integral0^1 3x,dx. O conteúdo aqui é a definição de integral como limite de soma de Riemann, e vamos precisar da fórmula para a soma dos primeiros inteiros sumi=1^n i = tfracn(n+1)2.

Passo 2

Particionamos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais com De<a x = tfrac1n e usamos como ponto de amostragem o extremo direito xi = iDe<a x. A soma de Riemann fica
Sn = sumi=1^n f(xi),De<a x = sumi=1^n 3 xi cdot 1n
Substituindo xi = tfracin obtemos
Sn = sumi=1^n 3in cdot 1n = 3n^2sumi=1^n i = 3n^2 cdot n(n+1)2 = 3(n+1)2n

Passo 3

Agora calculamos o limite quando n to infty:
integral0^1 3x,dx = limntoinfty Sn = limntoinfty 3(n+1)2n = 32

Resposta

32

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