Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
1+21!+cdots+2^n-1(n-1)!+cdots

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
1 + 21! + 2^22! + cdots + 2^n-1(n-1)! + cdots
que podemos reescrever como
sumk=0^infty 2^kk!
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste da razão de d’Alembert, ou então o reconhecimento da expansão de e^x.

Passo 2

Definimos o termo geral
ak = 2^kk!, k=0,1,2,dots
e vamos aplicar o teste da razão, que compara
l|ak+1/akr| com 1 para decidir convergência absoluta.

Passo 3

Calculamos
limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty 2^k+1/(k+1)!2^k/k! = limktoinfty 2k+1 = 0
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Além disso, reconhecemos que
sumk=0^infty 2^kk!
é exatamente a expansão em série de Taylor de e^x em x=2. Logo, a soma vale e^2.

Resposta

A série converge (absolutamente) e seu valor é e^2.

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