Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
12+1 cdot 52 cdot 4 cdot 6+cdots+1 cdot 5 cdots(4 n-3)2 cdot 4 cdot 6 cdots(4 n-4)(4 n-2)+cdots

Passo 1

O enunciado dá a série
sumn=1^infty an, an = 1 cdot 5 cdots (4n-3)2 cdot 4 cdot 6 cdots (4n-2),
que é um exemplo de série de sinais positivos. O conteúdo é teste de convergência para séries, e vamos usar o teste da razão (ou d’Alembert) para decidir se ela converge.

Passo 2

Escrevemos explicitamente o termo geral em forma de produtos:
an = prodk=1^n(4k-3)prodk=1^2n-1(2k)
Então o termo seguinte é
an+1 = prodk=1^n+1(4k-3)prodk=1^2(n+1)-1(2k) = l(prodk=1^n(4k-3)r),(4(n+1)-3)l(prodk=1^2n-1(2k)r),(2cdot2n),(2cdot(2n+1))

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos
an+1an = 4(n+1)-3(2cdot2n),(2cdot(2n+1)) = 4n+1(4n),(4n+2)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinfty4n+116n^2+8n = 0
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série sum an converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge.

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