Calcule as seguintes integrais definidas via substituição:
integral1^2 1(4 x-3)^3 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral1^2 1(4x - 3)^3 , dx usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral e aplicar as propriedades das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique o denominador da fração. Vamos definir:
u = 4x - 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados:
dudx = 4 Rightarrow du = 4 , dx Rightarrow dx = du4

Passo 4

Em seguida, ajustamos os limites de integração para a nova variável u. Quando x = 1:
u = 4(1) - 3 = 1
E quando x = 2:
u = 4(2) - 3 = 5

Passo 5

Substituímos x e dx na integral original:
integral1^2 1(4x - 3)^3 , dx = integral1^5 1u^3 cdot du4 = 14 integral1^5 u^-3 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-3. A antiderivada de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1. Aplicando isso:
integral u^-3 , du = u^-2-2 = -12u^2

Passo 7

Aplicamos os limites de integração e multiplicamos pelo fator 14:
14 [ -12u^2 ]1^5 = 14 ( -12(5)^2 + 12(1)^2 ) = 14 ( -150 + 12 )
Simplificando dentro dos parênteses:
-150 + 2550 = 2450 = 1225
Finalmente:
14 cdot 1225 = 12100 = 325

Resposta

325

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