Calcule as seguintes integrais definidas via substituição:
.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral e aplicar as propriedades das integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique o denominador da fração. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Em seguida, ajustamos os limites de integração para a nova variável
. Quando
:
E quando
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. A antiderivada de
é
, desde que
. Aplicando isso:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração e multiplicamos pelo fator
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Finalmente: