Encontre a devivada das seguintes funcoies:
f(x)=(x^4+1x^2+1)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem a função f(x) = (x^4 + 1x^2 + 1)^5 . O conteúdo que vamos precisar aqui inclui a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar funções compostas e quocientes, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma potência dentro de um quociente. Para derivar uma função que está elevada a uma potência, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de [g(x)]^n é n cdot [g(x)]^n-1 cdot g'(x) .
No nosso caso, g(x) = x^4 + 1x^2 + 1 e n = 5 . Então, aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 5 cdot (x^4 + 1x^2 + 1)^4 cdot ddx(x^4 + 1x^2 + 1)

Passo 3

Agora, precisamos derivar o quociente x^4 + 1x^2 + 1 . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função u(x)v(x) , sua derivada é:
(uv)' = u' cdot v - u cdot v'v^2
Aqui, u(x) = x^4 + 1 e v(x) = x^2 + 1 .

Passo 4

Vamos calcular u'(x) e v'(x) :
u'(x) = ddx(x^4 + 1) = 4x^3
v'(x) = ddx(x^2 + 1) = 2x

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
ddx(x^4 + 1x^2 + 1) = 4x^3 cdot (x^2 + 1) - (x^4 + 1) cdot 2x(x^2 + 1)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
4x^3(x^2 + 1) = 4x^5 + 4x^3
2x(x^4 + 1) = 2x^5 + 2x
4x^5 + 4x^3 - 2x^5 - 2x = (4x^5 - 2x^5) + 4x^3 - 2x = 2x^5 + 4x^3 - 2x
Então, a derivada do quociente fica:
2x^5 + 4x^3 - 2x(x^2 + 1)^2

Passo 7

Agora, voltando à derivada original usando a regra da cadeia:
f'(x) = 5 cdot (x^4 + 1x^2 + 1)^4 cdot 2x^5 + 4x^3 - 2x(x^2 + 1)^2
Podemos simplificar multiplicando os coeficientes:
f'(x) = 5(2x^5 + 4x^3 - 2x)(x^2 + 1)^2 cdot (x^4 + 1x^2 + 1)^4

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 5(2x^5 + 4x^3 - 2x)(x^2 + 1)^2 cdot (x^4 + 1x^2 + 1)^4

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