O imposto de renda
pago por uma pessoa que, em 1995 , teve uma renda líquida
é calculado através de uma expressão da forma
, onde a alíquota
e a parcela a deduzir
dependem da renda
e são dadas por uma tabela, parcialmente fornecida a seguir:
Renda (em R$)
Alíquota
Parcela a deduzir
Até 8800
0
0
De 8800 até 17160
De 17160 até 158450
Mais de 158450
A tabela de taxação é, às vezes, dada de uma outra forma, para permitir o cálculo do imposto através de uma expressão da forma
(isto é, primeiro se deduz a parcela
e depois se aplica a alíquota). Converta a tabela acima para este formato (isto é, calcule os valores de
e
para cada faixa de renda).
Renda (em R$) | Alíquota
|
Parcela a deduzir
|
Até 8800 | 0 | 0 |
De 8800 até 17160 |
|
|
De 17160 até 158450 |
|
|
Mais de 158450 |
|
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra como calcular o imposto de renda
com base na renda líquida
de uma pessoa em 1995. A fórmula dada é
, onde
é a alíquota e
é a parcela a deduzir, variando de acordo com a faixa de renda.
A matéria envolvida aqui é a aplicação de funções lineares para calcular impostos, além de entender como converter uma fórmula para outra forma equivalente. Vamos precisar usar conceitos de álgebra básica para rearranjar as fórmulas e encontrar os valores de
e
para cada faixa de renda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas formas de calcular o imposto que a questão apresenta:
Queremos converter a primeira fórmula para a segunda. Para isso, vamos igualar as duas expressões:
Passo 3
Agora, vamos expandir a segunda fórmula:
Para que as duas expressões sejam iguais para qualquer
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
:
- Da primeira equação, já temos que
é igual a :
- Da segunda equação:
Então,
é igual à parcela a deduzir
dividida pela alíquota
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso para cada faixa de renda da tabela. Vamos preencher a tabela original com as informações que temos e depois calcular
e
.
[
]
Renda (em R$) | Alíquota
|
Parcela a deduzir
|
Até 8800 | 0% | 0 |
De 8800 até 17160 | 15% | p |
De 17160 até 158450 | 26% | p |
Mais de 158450 | 35% | p |
Como as parcelas a deduzir
nas faixas intermediárias não estão fornecidas, assumiremos que elas devem ser calculadas para que a função de imposto seja contínua entre as faixas.
Passo 6
Vamos calcular
para cada faixa de renda usando a relação que encontramos:
Como
, então:
Precisamos determinar os valores de
para cada faixa. Para isso, vamos considerar que o imposto deve ser contínuo, ou seja, ao trocar de faixa, o imposto calculado na nova faixa deve ser igual ao imposto da faixa anterior no ponto de transição.
Passo 7
Vamos calcular
para a segunda faixa (De 8800 até 17160):
No limite inferior dessa faixa,
. O imposto na faixa anterior (Até 8800) é:
Na nova fórmula
:
Então, para a segunda faixa:
Passo 8
Vamos repetir o processo para a terceira faixa (De 17160 até 158450):
No limite inferior dessa faixa,
. O imposto na faixa anterior deve ser igual ao imposto desta nova faixa no mesmo ponto.
Usando
:
Agora, aplicando a nova fórmula
:
Então, para a terceira faixa:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular
para a última faixa (Mais de 158450):
No limite inferior dessa faixa,
. O imposto na faixa anterior é:
Usando a nova fórmula
:
Então, para a última faixa:
Resposta
Convertendo a tabela original para a forma
, temos:
[
]
Renda (em R$) | Alíquota
|
Parcela a deduzir
|
Até 8800 | 0% | 0 |
De 8800 até 17160 | 15% | 8800 |
De 17160 até 158450 | 26% | 12336 |
Mais de 158450 | 35% | 49848,86 |