O imposto de renda pago por uma pessoa que, em 1995 , teve uma renda líquida é calculado através de uma expressão da forma , onde a alíquota e a parcela a deduzir dependem da renda e são dadas por uma tabela, parcialmente fornecida a seguir:
Renda (em R$) Alíquota Parcela a deduzir
Até 8800 0 0
De 8800 até 17160
De 17160 até 158450
Mais de 158450
A tabela de taxação é, às vezes, dada de uma outra forma, para permitir o cálculo do imposto através de uma expressão da forma (isto é, primeiro se deduz a parcela e depois se aplica a alíquota). Converta a tabela acima para este formato (isto é, calcule os valores de e para cada faixa de renda).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra como calcular o imposto de renda y com base na renda líquida x de uma pessoa em 1995. A fórmula dada é y = a x - p , onde a é a alíquota e p é a parcela a deduzir, variando de acordo com a faixa de renda.
A matéria envolvida aqui é a aplicação de funções lineares para calcular impostos, além de entender como converter uma fórmula para outra forma equivalente. Vamos precisar usar conceitos de álgebra básica para rearranjar as fórmulas e encontrar os valores de b e q para cada faixa de renda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas formas de calcular o imposto que a questão apresenta:
  1. y = a x - p
  2. y = b (x - q)
Queremos converter a primeira fórmula para a segunda. Para isso, vamos igualar as duas expressões:
b (x - q) = a x - p

Passo 3

Agora, vamos expandir a segunda fórmula:
b x - b q = a x - p
Para que as duas expressões sejam iguais para qualquer x , os coeficientes de x e os termos constantes devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:
  1. b = a
  2. -b q = -p

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar b e q :
  1. Da primeira equação, já temos que b é igual a a :
b = a
  1. Da segunda equação:
-b q = -p
b q = p
q = pb
Então, q é igual à parcela a deduzir p dividida pela alíquota b .

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso para cada faixa de renda da tabela. Vamos preencher a tabela original com as informações que temos e depois calcular e .
[
Renda (em R$) Alíquota Parcela a deduzir
Até 8800 0% 0
De 8800 até 17160 15% p
De 17160 até 158450 26% p
Mais de 158450 35% p
]
Como as parcelas a deduzir nas faixas intermediárias não estão fornecidas, assumiremos que elas devem ser calculadas para que a função de imposto seja contínua entre as faixas.

Passo 6

Vamos calcular q para cada faixa de renda usando a relação que encontramos:
q = pb
Como b = a , então:
q = pa
Precisamos determinar os valores de p para cada faixa. Para isso, vamos considerar que o imposto deve ser contínuo, ou seja, ao trocar de faixa, o imposto calculado na nova faixa deve ser igual ao imposto da faixa anterior no ponto de transição.

Passo 7

Vamos calcular p para a segunda faixa (De 8800 até 17160):
No limite inferior dessa faixa, x = 8800 . O imposto na faixa anterior (Até 8800) é:
y = 0
Na nova fórmula y = a x - p :
0 = 0,15 times 8800 - p
p = 0,15 times 8800
p = 1320
Então, para a segunda faixa:
b = 0,15
q = 13200,15 = 8800

Passo 8

Vamos repetir o processo para a terceira faixa (De 17160 até 158450):
No limite inferior dessa faixa, x = 17160 . O imposto na faixa anterior deve ser igual ao imposto desta nova faixa no mesmo ponto.
Usando y = 0,15 x - 1320 :
y = 0,15 times 17160 - 1320
y = 2574 - 1320
y = 1254
Agora, aplicando a nova fórmula y = 0,26 x - p :
1254 = 0,26 times 17160 - p
p = 0,26 times 17160 - 1254
p = 4461,6 - 1254
p = 3207,6
Então, para a terceira faixa:
b = 0,26
q = 3207,60,26 = 12336

Passo 9

Finalmente, vamos calcular p para a última faixa (Mais de 158450):
No limite inferior dessa faixa, x = 158450 . O imposto na faixa anterior é:
y = 0,26 times 158450 - 3207,6
y = 41217 - 3207,6
y = 38009,4
Usando a nova fórmula y = 0,35 x - p :
38009,4 = 0,35 times 158450 - p
p = 0,35 times 158450 - 38009,4
p = 55457,5 - 38009,4
p = 17448,1
Então, para a última faixa:
b = 0,35
q = 17448,10,35 = 49848,86

Resposta

Convertendo a tabela original para a forma , temos:
[
Renda (em R$) Alíquota Parcela a deduzir
Até 8800 0% 0
De 8800 até 17160 15% 8800
De 17160 até 158450 26% 12336
Mais de 158450 35% 49848,86
]

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