Calcule as seguintes integrais duplas se
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o quadrado
:
Informações dadas:
- O domínio é o quadrado
. - A função integranda é
, que aqui vamos escrever como . - Objetivo: encontrar o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (teoria curta e clara).
- A função
é contínua em todo , portanto em particular é contínua no retângulo . Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Em símbolos:
- Assim vamos calcular primeiro a integral interna em
(com tratado como constante) e depois integrar o resultado em .
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
- Para integrar em
, lembramos que a primitiva de em relação a é . Explicação rápida: a derivada de em relação a é , então a primitiva de é . - Avaliando nos limites
e :
Passo 4
Calcular a integral externa em
.
- Agora precisamos de
- Usamos linearidade da integral: isto é
- A primitiva de
é . Para a primitiva em é (a derivada de é , portanto não há fator adicional). - Avaliando os dois termos:
- Subtraindo:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida.
- O resultado é uma combinação de funções trigonométricas avaliadas em números; não há simplificação algébrica adicional óbvia. Como checagem rápida: as etapas usam apenas primitivas e a propriedade de Fubini, tudo válido aqui porque a função é contínua no quadrado.