Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1]
\iint_{D} \operatorname{sen}(x+y) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o quadrado D=[0,1]\times[0,1]:
\iint_{D} \operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • O domínio é o quadrado D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
  • A função integranda é \operatorname{sen}(x+y), que aqui vamos escrever como \sin(x+y).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (teoria curta e clara).
  • A função \sin(x+y) é contínua em todo \mathbb{R}^2, portanto em particular é contínua no retângulo D. Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Em símbolos:
\iint_{D}\sin(x+y)\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\sin(x+y)\,dx\right)dy.
  • Assim vamos calcular primeiro a integral interna em x (com y tratado como constante) e depois integrar o resultado em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em x.
  • Para integrar em x, lembramos que a primitiva de \sin(x+y) em relação a x é -\cos(x+y). Explicação rápida: a derivada de \cos(x+y) em relação a x é -\sin(x+y)\cdot\frac{d}{dx}(x+y)=-\sin(x+y), então a primitiva de \sin(x+y) é -\cos(x+y).
  • Avaliando nos limites x=0 e x=1:
\int_{0}^{1}\sin(x+y)\,dx=\bigl[-\cos(x+y)\bigr]_{x=0}^{x=1}=-\cos(1+y)+\cos(y)=\cos(y)-\cos(y+1).

Passo 4

Calcular a integral externa em y.
  • Agora precisamos de
\int_{0}^{1}\bigl(\cos(y)-\cos(y+1)\bigr)\,dy.
  • Usamos linearidade da integral: isto é
\int_{0}^{1}\cos(y)\,dy-\int_{0}^{1}\cos(y+1)\,dy.
  • A primitiva de \cos(t) é \sin(t). Para \cos(y+1) a primitiva em y é \sin(y+1) (a derivada de y+1 é 1, portanto não há fator adicional).
  • Avaliando os dois termos:
\int_{0}^{1}\cos(y)\,dy=\bigl[\sin(y)\bigr]_{0}^{1}=\sin(1)-\sin(0)=\sin(1),
\int_{0}^{1}\cos(y+1)\,dy=\bigl[\sin(y+1)\bigr]_{0}^{1}=\sin(2)-\sin(1).
  • Subtraindo:
\sin(1)-\bigl(\sin(2)-\sin(1)\bigr)=2\sin(1)-\sin(2).

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
  • O resultado é uma combinação de funções trigonométricas avaliadas em números; não há simplificação algébrica adicional óbvia. Como checagem rápida: as etapas usam apenas primitivas e a propriedade de Fubini, tudo válido aqui porque a função é contínua no quadrado.

Resposta

\,2\sin(1)-\sin(2)\,

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