Calcule as seguintes integrais duplas:
integral duplaD(x+y)^2 e^x-y d x d y onde D é a região limitada pelas curvas y+x=1, y+x=4, x-y=-1 e x-y=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(x+y)^2e^,x-y,dx,dy
onde D é o paralelogramo limitado pelas retas
,x+y=1, ,x+y=4, ,x-y=-1 e ,x-y=1.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variável linear para simplificar tanto a região quanto o integrando.

Passo 2

Fazemos a transformação
u = x + y, v = x - y,
de modo que as curvas que limitam D passam a ser retas constantes em u ou v:
,u=1, ,u=4, ,v=-1 e ,v=1.
Logo, na região transformada temos
1 <= u <= 4, -1 <= v <= 1

Passo 3

Precisamos do Jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y).
Como
x = u+v2, y = u-v2,
o determinante é
detpartial(x,y)partial(u,v) = dettfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & -tfrac12 = -tfrac12,
portanto ,dx,dy = tfrac12,du,dv em valor absoluto.]

Passo 4

Em termos de u,v o integrando fica
(x+y)^2e^,x-y = u^2e^,v,
e a integral torna-se
integral duplaD (x+y)^2e^,x-y,dx,dy = integralv=-1^1!integralu=1^4 u^2e^,v,l(tfrac12,du,dvr) = tfrac12 l(integralu=1^4u^2dur) l(integralv=-1^1e^,vdvr)

Passo 5

Calculamos separadamente:
integralu=1^4u^2du = l[tfracu^33r]1^4 = 64-13 = 21,
integralv=-1^1e^,vdv = l[e^,vr]-1^1 = e - e^-1

Passo 6

Substituindo de volta,
tfrac12 times 21 times (e - e^-1) = 212l(e - e^-1r)

Resposta

212l(e - e^-1r)

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