Calcule as seguintes integrais duplas:
integral duplaR x sen y d x d y onde R=(x, y): 1 <= x <= 4,0 <= y <= pi / 6 Resp. (b) -154(2-raiz3). integral duplaR 11+x+y d x d y onde R=[0,1] times[0,1]
Resp. © ln (2716)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ x \cdot \sin y $ sobre a região $ R $ onde $ x $ varia de 1 a 4 e $ y $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{6} $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis sobre uma região definida. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
integral duplaR x cdot sin y , dx , dy
Sabemos que $ R = {(x, y) : 1 \leq x \leq 4, \ 0 \leq y \leq \frac{\pi}{6}} $. Isso significa que vamos integrar $ x \cdot \sin y $ primeiro em relação a $ x $ de 1 a 4 e depois em relação a $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{6} $.

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a $ x $. Mantendo $ y $ constante, a integral em relação a $ x $ fica:
x
Como $ \sin y $ é uma constante em relação a $ x $, podemos tirar fora da integral:
y
Agora, integramos $ x $ em relação a $ x $:
x
Aplicando os limites de integração:
integral1^4 x cdot sin y , dx
Então, o resultado da integração em $ x $ é:
sin y

Passo 4

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{6} $:
y
Podemos tirar o 7.5 para fora da integral:
pi6
A integral de $ \sin y $ em relação a $ y $ é:
integral0^pi6 7.5 cdot sin y , dy
Aplicando os limites de integração:
7.5 cdot integral0^pi6 sin y , dy
Sabemos que:
sin y
Substituindo:
y

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
7.5 cdot ( 1 - raiz32 ) = 7.5 cdot ( 22 - raiz32 ) = 7.5 cdot 2 - raiz32 = 7.52 cdot (2 - raiz3) = 3.75 cdot (2 - raiz3)
Convertendo 3.75 para fração:
3.75 = 154
Então:
154 cdot (2 - raiz3) = 154(2 - raiz3)

Resposta

integral duplaR x cdot sin y , dx , dy = 154(2 - raiz3)

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