Calcule as seguintes integrais duplas:
onde
Resp. (b)
.
onde
Resp. ©
Resp. ©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ x \cdot \sin y $ sobre a região $ R $ onde $ x $ varia de 1 a 4 e $ y $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{6} $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis sobre uma região definida. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
Sabemos que $ R = {(x, y) : 1 \leq x \leq 4, \ 0 \leq y \leq \frac{\pi}{6}} $. Isso significa que vamos integrar $ x \cdot \sin y $ primeiro em relação a $ x $ de 1 a 4 e depois em relação a $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{6} $.
Passo 3
Vamos começar integrando com relação a $ x $. Mantendo $ y $ constante, a integral em relação a $ x $ fica:
Como $ \sin y $ é uma constante em relação a $ x $, podemos tirar fora da integral:
Agora, integramos $ x $ em relação a $ x $:
Aplicando os limites de integração:
Então, o resultado da integração em $ x $ é:
Passo 4
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{6} $:
Podemos tirar o 7.5 para fora da integral:
A integral de $ \sin y $ em relação a $ y $ é:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Convertendo 3.75 para fração:
Então: